Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81461 / 20025
↖ ↑ ↗
← N 77.122318°
E 43.739319°		 ← 68.06 m → N 77.122318°
E 43.742065°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.121705°
E 43.739319°		 ← 68.06 m →
4 635 m²		 N 77.121705°
E 43.742065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621501922607422 y=0.152782440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621501922607422 × 217)
    floor (0.621501922607422 × 131072)
    floor (81461.5)     		tx = 81461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152782440185547 × 217)
    floor (0.152782440185547 × 131072)
    floor (20025.5)     		ty = 20025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81461 / 20025 ti = "17/81461/20025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81461/20025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81461 ÷ 217
    81461 ÷ 131072     		x = 0.621498107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20025 ÷ 217
    20025 ÷ 131072     		y = 0.152778625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621498107910156 × 2 - 1) × π
    0.242996215820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76339513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152778625488281 × 2 - 1) × π
    0.694442749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.18165623860838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76339513} λ = 0.76339513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18165623860838))-π/2
    2×atan(8.86096999265719)-π/2
    2×1.4584173464048-π/2
    2.9168346928096-1.57079632675     		φ = 1.34603837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76339513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.739319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34603837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.122318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81461 KachelY 20025 0.76339513 1.34603837 43.739319 77.122318
    Oben rechts KachelX + 1 81462 KachelY 20025 0.76344306 1.34603837 43.742065 77.122318
    Unten links KachelX 81461 KachelY + 1 20026 0.76339513 1.34602768 43.739319 77.121705
    Unten rechts KachelX + 1 81462 KachelY + 1 20026 0.76344306 1.34602768 43.742065 77.121705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34603837-1.34602768) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34603837-1.34602768) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76339513-0.76344306) × cos(1.34603837) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222870413308725 × 6371000     		do = 68.0561618347753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76339513-0.76344306) × cos(1.34602768) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222880834421965 × 6371000     		du = 68.059344047069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34603837)-sin(1.34602768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222870413308725-0.222880834421965)×R²
    abs(0.76344306-0.76339513)×1.04211132395671e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04211132395671e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04211132395671e-05×40589641000000     		ar = 4635.14064111048m²