Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8146 / 7690
↖ ↑ ↗
← N 79.677346°
W135.252685°		 ← 109.45 m → N 79.677346°
W135.247192°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
N 79.676361°
W135.252685°		 ← 109.46 m →
11 980 m²		 N 79.676361°
W135.247192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124305725097656 y=0.117347717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124305725097656 × 216)
    floor (0.124305725097656 × 65536)
    floor (8146.5)     		tx = 8146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117347717285156 × 216)
    floor (0.117347717285156 × 65536)
    floor (7690.5)     		ty = 7690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8146 / 7690 ti = "16/8146/7690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8146/7690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8146 ÷ 216
    8146 ÷ 65536     		x = 0.124298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7690 ÷ 216
    7690 ÷ 65536     		y = 0.117340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.75140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36060468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117340087890625 × 2 - 1) × π
    0.76531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40432313734354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36060468} λ = -2.36060468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40432313734354))-π/2
    2×atan(11.0709342436167)-π/2
    2×1.48071417274188-π/2
    2.96142834548375-1.57079632675     		φ = 1.39063202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36060468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.252685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39063202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.677346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8146 KachelY 7690 -2.36060468 1.39063202 -135.252685 79.677346
    Oben rechts KachelX + 1 8147 KachelY 7690 -2.36050881 1.39063202 -135.247192 79.677346
    Unten links KachelX 8146 KachelY + 1 7691 -2.36060468 1.39061484 -135.252685 79.676361
    Unten rechts KachelX + 1 8147 KachelY + 1 7691 -2.36050881 1.39061484 -135.247192 79.676361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39063202-1.39061484) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39063202-1.39061484) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36060468--2.36050881) × cos(1.39063202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179191223212332 × 6371000     		do = 109.44780762943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36060468--2.36050881) × cos(1.39061484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179208125114938 × 6371000     		du = 109.458131104832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39063202)-sin(1.39061484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179191223212332-0.179208125114938)×R²
    abs(-2.36050881--2.36060468)×1.69019026056982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69019026056982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69019026056982e-05×40589641000000     		ar = 11980.0412295929m²