Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8146 / 3951
↖ ↑ ↗
← N 67.751080°
W  1.010742°		 ← 925.10 m → N 67.751080°
W  0.988769°		 →
↑
925.26 m
↓
↑
925.26 m
↓
N 67.742759°
W  1.010742°		 ← 925.43 m →
856 112 m²		 N 67.742759°
W  0.988769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497222900390625 y=0.241180419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497222900390625 × 214)
    floor (0.497222900390625 × 16384)
    floor (8146.5)     		tx = 8146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241180419921875 × 214)
    floor (0.241180419921875 × 16384)
    floor (3951.5)     		ty = 3951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8146 / 3951 ti = "14/8146/3951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8146/3951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8146 ÷ 214
    8146 ÷ 16384     		x = 0.4971923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3951 ÷ 214
    3951 ÷ 16384     		y = 0.24114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.005615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01764078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24114990234375 × 2 - 1) × π
    0.5177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62640313030927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01764078} λ = -0.01764078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62640313030927))-π/2
    2×atan(5.08554972232463)-π/2
    2×1.37663787294147-π/2
    2.75327574588293-1.57079632675     		φ = 1.18247942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01764078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18247942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.751080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8146 KachelY 3951 -0.01764078 1.18247942 -1.010742 67.751080
    Oben rechts KachelX + 1 8147 KachelY 3951 -0.01725728 1.18247942 -0.988769 67.751080
    Unten links KachelX 8146 KachelY + 1 3952 -0.01764078 1.18233419 -1.010742 67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 8147 KachelY + 1 3952 -0.01725728 1.18233419 -0.988769 67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18247942-1.18233419) × R
    0.000145229999999996 × 6371000     		dl = 925.260329999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18247942-1.18233419) × R
    0.000145229999999996 × 6371000     		dr = 925.260329999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01764078--0.01725728) × cos(1.18247942) × R
    0.000383499999999998 × 0.378631169204887 × 6371000     		do = 925.101395148159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01764078--0.01725728) × cos(1.18233419) × R
    0.000383499999999998 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 925.42980425116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18247942)-sin(1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378631169204887-0.378765582495472)×R²
    abs(-0.01725728--0.01764078)×0.000134413290585056×R²
    0.000383499999999998×0.000134413290585056×6371000²
    0.000383499999999998×0.000134413290585056×40589641000000     		ar = 856111.555620375m²