Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81458 / 114961
↖ ↑ ↗
← S 79.311303°
E 43.731079°		 ← 56.64 m → S 79.311303°
E 43.733826°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.311812°
E 43.731079°		 ← 56.63 m →
3 208 m²		 S 79.311812°
E 43.733826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621479034423828 y=0.877086639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621479034423828 × 217)
    floor (0.621479034423828 × 131072)
    floor (81458.5)     		tx = 81458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877086639404297 × 217)
    floor (0.877086639404297 × 131072)
    floor (114961.5)     		ty = 114961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81458 / 114961 ti = "17/81458/114961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81458/114961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81458 ÷ 217
    81458 ÷ 131072     		x = 0.621475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114961 ÷ 217
    114961 ÷ 131072     		y = 0.877082824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621475219726562 × 2 - 1) × π
    0.242950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76325132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877082824707031 × 2 - 1) × π
    -0.754165649414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36928126372128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76325132} λ = 0.76325132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36928126372128))-π/2
    2×atan(0.0935479384184045)-π/2
    2×0.0932764762773862-π/2
    0.186552952554772-1.57079632675     		φ = -1.38424337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76325132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.731079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38424337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.311303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81458 KachelY 114961 0.76325132 -1.38424337 43.731079 -79.311303
    Oben rechts KachelX + 1 81459 KachelY 114961 0.76329925 -1.38424337 43.733826 -79.311303
    Unten links KachelX 81458 KachelY + 1 114962 0.76325132 -1.38425226 43.731079 -79.311812
    Unten rechts KachelX + 1 81459 KachelY + 1 114962 0.76329925 -1.38425226 43.733826 -79.311812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38424337--1.38425226) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38424337--1.38425226) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76325132-0.76329925) × cos(-1.38424337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185472768634289 × 6371000     		do = 56.6363411399214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76325132-0.76329925) × cos(-1.38425226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185464032873754 × 6371000     		du = 56.6336735703509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38424337)-sin(-1.38425226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185472768634289-0.185464032873754)×R²
    abs(0.76329925-0.76325132)×8.73576053467273e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.73576053467273e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.73576053467273e-06×40589641000000     		ar = 3207.70430724647m²