Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8145 / 7695
↖ ↑ ↗
← N 79.672423°
W135.258179°		 ← 109.51 m → N 79.672423°
W135.252685°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
N 79.671438°
W135.258179°		 ← 109.52 m →
11 994 m²		 N 79.671438°
W135.252685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124290466308594 y=0.117424011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124290466308594 × 216)
    floor (0.124290466308594 × 65536)
    floor (8145.5)     		tx = 8145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117424011230469 × 216)
    floor (0.117424011230469 × 65536)
    floor (7695.5)     		ty = 7695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8145 / 7695 ti = "16/8145/7695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8145/7695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8145 ÷ 216
    8145 ÷ 65536     		x = 0.124282836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7695 ÷ 216
    7695 ÷ 65536     		y = 0.117416381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124282836914062 × 2 - 1) × π
    -0.751434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.36070056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117416381835938 × 2 - 1) × π
    0.765167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40384376834734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36070056} λ = -2.36070056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40384376834734))-π/2
    2×atan(11.0656284527987)-π/2
    2×1.48067121325395-π/2
    2.9613424265079-1.57079632675     		φ = 1.39054610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36070056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.258179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39054610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.672423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8145 KachelY 7695 -2.36070056 1.39054610 -135.258179 79.672423
    Oben rechts KachelX + 1 8146 KachelY 7695 -2.36060468 1.39054610 -135.252685 79.672423
    Unten links KachelX 8145 KachelY + 1 7696 -2.36070056 1.39052891 -135.258179 79.671438
    Unten rechts KachelX + 1 8146 KachelY + 1 7696 -2.36060468 1.39052891 -135.252685 79.671438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39054610-1.39052891) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dl = 109.517489999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39054610-1.39052891) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dr = 109.517489999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36070056--2.36060468) × cos(1.39054610) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.179275751872351 × 6371000     		do = 109.510858359774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36070056--2.36060468) × cos(1.39052891) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.179292663348335 × 6371000     		du = 109.521188759908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39054610)-sin(1.39052891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179275751872351-0.179292663348335)×R²
    abs(-2.36060468--2.36070056)×1.69114759834277e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.69114759834277e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.69114759834277e-05×40589641000000     		ar = 11993.9200153168m²