Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81447 / 20133
↖ ↑ ↗
← N 77.056040°
E 43.700867°		 ← 68.41 m → N 77.056040°
E 43.703613°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.055425°
E 43.700867°		 ← 68.42 m →
4 681 m²		 N 77.055425°
E 43.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621395111083984 y=0.153606414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621395111083984 × 217)
    floor (0.621395111083984 × 131072)
    floor (81447.5)     		tx = 81447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153606414794922 × 217)
    floor (0.153606414794922 × 131072)
    floor (20133.5)     		ty = 20133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81447 / 20133 ti = "17/81447/20133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81447/20133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81447 ÷ 217
    81447 ÷ 131072     		x = 0.621391296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20133 ÷ 217
    20133 ÷ 131072     		y = 0.153602600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621391296386719 × 2 - 1) × π
    0.242782592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76272401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153602600097656 × 2 - 1) × π
    0.692794799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17647905344941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76272401} λ = 0.76272401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17647905344941))-π/2
    2×atan(8.81521365702952)-π/2
    2×1.45783896752272-π/2
    2.91567793504544-1.57079632675     		φ = 1.34488161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76272401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.700867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34488161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.056040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81447 KachelY 20133 0.76272401 1.34488161 43.700867 77.056040
    Oben rechts KachelX + 1 81448 KachelY 20133 0.76277195 1.34488161 43.703613 77.056040
    Unten links KachelX 81447 KachelY + 1 20134 0.76272401 1.34487087 43.700867 77.055425
    Unten rechts KachelX + 1 81448 KachelY + 1 20134 0.76277195 1.34487087 43.703613 77.055425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34488161-1.34487087) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34488161-1.34487087) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76272401-0.76277195) × cos(1.34488161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223997929211404 × 6371000     		do = 68.4147332878159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76272401-0.76277195) × cos(1.34487087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224008396291006 × 6371000     		du = 68.4179302033488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34488161)-sin(1.34487087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223997929211404-0.224008396291006)×R²
    abs(0.76277195-0.76272401)×1.04670796014505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04670796014505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04670796014505e-05×40589641000000     		ar = 4681.35602836011m²