Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81446 / 19565
↖ ↑ ↗
← N 77.400892°
E 43.698120°		 ← 66.62 m → N 77.400892°
E 43.700867°		 →
↑
66.64 m
↓
↑
66.64 m
↓
N 77.400293°
E 43.698120°		 ← 66.63 m →
4 440 m²		 N 77.400293°
E 43.700867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621387481689453 y=0.149272918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621387481689453 × 217)
    floor (0.621387481689453 × 131072)
    floor (81446.5)     		tx = 81446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149272918701172 × 217)
    floor (0.149272918701172 × 131072)
    floor (19565.5)     		ty = 19565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81446 / 19565 ti = "17/81446/19565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81446/19565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81446 ÷ 217
    81446 ÷ 131072     		x = 0.621383666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19565 ÷ 217
    19565 ÷ 131072     		y = 0.149269104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621383666992188 × 2 - 1) × π
    0.242767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76267607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149269104003906 × 2 - 1) × π
    0.701461791992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.2037072124336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76267607} λ = 0.76267607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2037072124336))-π/2
    2×atan(9.05853323569451)-π/2
    2×1.46084836887249-π/2
    2.92169673774497-1.57079632675     		φ = 1.35090041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76267607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.698120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35090041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.400892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81446 KachelY 19565 0.76267607 1.35090041 43.698120 77.400892
    Oben rechts KachelX + 1 81447 KachelY 19565 0.76272401 1.35090041 43.700867 77.400892
    Unten links KachelX 81446 KachelY + 1 19566 0.76267607 1.35088995 43.698120 77.400293
    Unten rechts KachelX + 1 81447 KachelY + 1 19566 0.76272401 1.35088995 43.700867 77.400293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35090041-1.35088995) × R
    1.04599999999344e-05 × 6371000     		dl = 66.6406599995821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35090041-1.35088995) × R
    1.04599999999344e-05 × 6371000     		dr = 66.6406599995821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76267607-0.76272401) × cos(1.35090041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218128047364599 × 6371000     		do = 66.6219202810441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76267607-0.76272401) × cos(1.35088995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21813825547752 × 6371000     		du = 66.6250381014868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35090041)-sin(1.35088995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218128047364599-0.21813825547752)×R²
    abs(0.76272401-0.76267607)×1.02081129204346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02081129204346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02081129204346e-05×40589641000000     		ar = 4439.83262475009m²