Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81446 / 114926
↖ ↑ ↗
← S 79.293459°
E 43.698120°		 ← 56.74 m → S 79.293459°
E 43.700867°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.293969°
E 43.698120°		 ← 56.74 m →
3 221 m²		 S 79.293969°
E 43.700867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621387481689453 y=0.876819610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621387481689453 × 217)
    floor (0.621387481689453 × 131072)
    floor (81446.5)     		tx = 81446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876819610595703 × 217)
    floor (0.876819610595703 × 131072)
    floor (114926.5)     		ty = 114926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81446 / 114926 ti = "17/81446/114926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81446/114926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81446 ÷ 217
    81446 ÷ 131072     		x = 0.621383666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114926 ÷ 217
    114926 ÷ 131072     		y = 0.876815795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621383666992188 × 2 - 1) × π
    0.242767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76267607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876815795898438 × 2 - 1) × π
    -0.753631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36760347223457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76267607} λ = 0.76267607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36760347223457))-π/2
    2×atan(0.0937050240947371)-π/2
    2×0.0934321969190353-π/2
    0.186864393838071-1.57079632675     		φ = -1.38393193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76267607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.698120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38393193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.293459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81446 KachelY 114926 0.76267607 -1.38393193 43.698120 -79.293459
    Oben rechts KachelX + 1 81447 KachelY 114926 0.76272401 -1.38393193 43.700867 -79.293459
    Unten links KachelX 81446 KachelY + 1 114927 0.76267607 -1.38394084 43.698120 -79.293969
    Unten rechts KachelX + 1 81447 KachelY + 1 114927 0.76272401 -1.38394084 43.700867 -79.293969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38393193--1.38394084) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38393193--1.38394084) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76267607-0.76272401) × cos(-1.38393193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185778795964914 × 6371000     		do = 56.7416262338557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76267607-0.76272401) × cos(-1.38394084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185770041066445 × 6371000     		du = 56.7389522625121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38393193)-sin(-1.38394084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185778795964914-0.185770041066445)×R²
    abs(0.76272401-0.76267607)×8.75489846938193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75489846938193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75489846938193e-06×40589641000000     		ar = 3220.89713081896m²