Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81445 / 114925
↖ ↑ ↗
← S 79.292949°
E 43.695374°		 ← 56.73 m → S 79.292949°
E 43.698120°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.293459°
E 43.695374°		 ← 56.73 m →
3 217 m²		 S 79.293459°
E 43.698120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621379852294922 y=0.876811981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621379852294922 × 217)
    floor (0.621379852294922 × 131072)
    floor (81445.5)     		tx = 81445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876811981201172 × 217)
    floor (0.876811981201172 × 131072)
    floor (114925.5)     		ty = 114925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81445 / 114925 ti = "17/81445/114925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81445/114925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81445 ÷ 217
    81445 ÷ 131072     		x = 0.621376037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114925 ÷ 217
    114925 ÷ 131072     		y = 0.876808166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621376037597656 × 2 - 1) × π
    0.242752075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76262814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.753616333007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.36755553533495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76262814} λ = 0.76262814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36755553533495))-π/2
    2×atan(0.0937095161307373)-π/2
    2×0.0934366498535836-π/2
    0.186873299707167-1.57079632675     		φ = -1.38392303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76262814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.695374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38392303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.292949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81445 KachelY 114925 0.76262814 -1.38392303 43.695374 -79.292949
    Oben rechts KachelX + 1 81446 KachelY 114925 0.76267607 -1.38392303 43.698120 -79.292949
    Unten links KachelX 81445 KachelY + 1 114926 0.76262814 -1.38393193 43.695374 -79.293459
    Unten rechts KachelX + 1 81446 KachelY + 1 114926 0.76267607 -1.38393193 43.698120 -79.293459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38392303--1.38393193) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38392303--1.38393193) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76262814-0.76267607) × cos(-1.38392303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185787541022735 × 6371000     		do = 56.7324606754455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76262814-0.76267607) × cos(-1.38393193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185778795964914 × 6371000     		du = 56.7297902668367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38392303)-sin(-1.38393193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185787541022735-0.185778795964914)×R²
    abs(0.76267607-0.76262814)×8.74505782119672e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74505782119672e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74505782119672e-06×40589641000000     		ar = 3216.76260323786m²