Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81444 / 20252
↖ ↑ ↗
← N 76.982624°
E 43.692627°		 ← 68.80 m → N 76.982624°
E 43.695374°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.982005°
E 43.692627°		 ← 68.80 m →
4 734 m²		 N 76.982005°
E 43.695374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621372222900391 y=0.154514312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621372222900391 × 217)
    floor (0.621372222900391 × 131072)
    floor (81444.5)     		tx = 81444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154514312744141 × 217)
    floor (0.154514312744141 × 131072)
    floor (20252.5)     		ty = 20252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81444 / 20252 ti = "17/81444/20252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81444/20252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81444 ÷ 217
    81444 ÷ 131072     		x = 0.621368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20252 ÷ 217
    20252 ÷ 131072     		y = 0.154510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621368408203125 × 2 - 1) × π
    0.24273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76258020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154510498046875 × 2 - 1) × π
    0.69097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17077456239462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76258020} λ = 0.76258020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17077456239462))-π/2
    2×atan(8.76507050613136)-π/2
    2×1.45719829131912-π/2
    2.91439658263825-1.57079632675     		φ = 1.34360026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76258020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.692627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34360026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.982624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81444 KachelY 20252 0.76258020 1.34360026 43.692627 76.982624
    Oben rechts KachelX + 1 81445 KachelY 20252 0.76262814 1.34360026 43.695374 76.982624
    Unten links KachelX 81444 KachelY + 1 20253 0.76258020 1.34358946 43.692627 76.982005
    Unten rechts KachelX + 1 81445 KachelY + 1 20253 0.76262814 1.34358946 43.695374 76.982005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34360026-1.34358946) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34360026-1.34358946) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76258020-0.76262814) × cos(1.34360026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225246535393113 × 6371000     		do = 68.7960897548326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76258020-0.76262814) × cos(1.34358946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225257057839421 × 6371000     		du = 68.7993035807828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34360026)-sin(1.34358946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225246535393113-0.225257057839421)×R²
    abs(0.76262814-0.76258020)×1.05224463079756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05224463079756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05224463079756e-05×40589641000000     		ar = 4733.74935512572m²