Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81444 / 20134
↖ ↑ ↗
← N 77.055425°
E 43.692627°		 ← 68.42 m → N 77.055425°
E 43.695374°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.054809°
E 43.692627°		 ← 68.42 m →
4 682 m²		 N 77.054809°
E 43.695374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621372222900391 y=0.153614044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621372222900391 × 217)
    floor (0.621372222900391 × 131072)
    floor (81444.5)     		tx = 81444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153614044189453 × 217)
    floor (0.153614044189453 × 131072)
    floor (20134.5)     		ty = 20134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81444 / 20134 ti = "17/81444/20134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81444/20134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81444 ÷ 217
    81444 ÷ 131072     		x = 0.621368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20134 ÷ 217
    20134 ÷ 131072     		y = 0.153610229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621368408203125 × 2 - 1) × π
    0.24273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76258020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153610229492188 × 2 - 1) × π
    0.692779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17643111654979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76258020} λ = 0.76258020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17643111654979))-π/2
    2×atan(8.81479109314559)-π/2
    2×1.45783359851414-π/2
    2.91566719702828-1.57079632675     		φ = 1.34487087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76258020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.692627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34487087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.055425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81444 KachelY 20134 0.76258020 1.34487087 43.692627 77.055425
    Oben rechts KachelX + 1 81445 KachelY 20134 0.76262814 1.34487087 43.695374 77.055425
    Unten links KachelX 81444 KachelY + 1 20135 0.76258020 1.34486013 43.692627 77.054809
    Unten rechts KachelX + 1 81445 KachelY + 1 20135 0.76262814 1.34486013 43.695374 77.054809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34487087-1.34486013) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34487087-1.34486013) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76258020-0.76262814) × cos(1.34487087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224008396291006 × 6371000     		do = 68.4179302033488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76258020-0.76262814) × cos(1.34486013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224018863344768 × 6371000     		du = 68.4211271109898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34487087)-sin(1.34486013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224008396291006-0.224018863344768)×R²
    abs(0.76262814-0.76258020)×1.04670537625917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04670537625917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04670537625917e-05×40589641000000     		ar = 4681.57477535336m²