Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81444 / 114933
↖ ↑ ↗
← S 79.297030°
E 43.692627°		 ← 56.72 m → S 79.297030°
E 43.695374°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.297540°
E 43.692627°		 ← 56.72 m →
3 216 m²		 S 79.297540°
E 43.695374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621372222900391 y=0.876873016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621372222900391 × 217)
    floor (0.621372222900391 × 131072)
    floor (81444.5)     		tx = 81444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876873016357422 × 217)
    floor (0.876873016357422 × 131072)
    floor (114933.5)     		ty = 114933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81444 / 114933 ti = "17/81444/114933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81444/114933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81444 ÷ 217
    81444 ÷ 131072     		x = 0.621368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114933 ÷ 217
    114933 ÷ 131072     		y = 0.876869201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621368408203125 × 2 - 1) × π
    0.24273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76258020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876869201660156 × 2 - 1) × π
    -0.753738403320312 × 3.1415926535     		Φ = -2.36793903053191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76258020} λ = 0.76258020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36793903053191))-π/2
    2×atan(0.093673585871373)-π/2
    2×0.0934010322493543-π/2
    0.186802064498709-1.57079632675     		φ = -1.38399426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76258020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.692627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38399426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.297030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81444 KachelY 114933 0.76258020 -1.38399426 43.692627 -79.297030
    Oben rechts KachelX + 1 81445 KachelY 114933 0.76262814 -1.38399426 43.695374 -79.297030
    Unten links KachelX 81444 KachelY + 1 114934 0.76258020 -1.38400316 43.692627 -79.297540
    Unten rechts KachelX + 1 81445 KachelY + 1 114934 0.76262814 -1.38400316 43.695374 -79.297540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38399426--1.38400316) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38399426--1.38400316) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76258020-0.76262814) × cos(-1.38399426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185717550670074 × 6371000     		do = 56.7229203443575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76258020-0.76262814) × cos(-1.38400316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185708805494498 × 6371000     		du = 56.7202493426358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38399426)-sin(-1.38400316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185717550670074-0.185708805494498)×R²
    abs(0.76262814-0.76258020)×8.74517557591936e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74517557591936e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74517557591936e-06×40589641000000     		ar = 3216.22163162812m²