Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81443 / 20253
↖ ↑ ↗
← N 76.982005°
E 43.689880°		 ← 68.80 m → N 76.982005°
E 43.692627°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.981387°
E 43.689880°		 ← 68.80 m →
4 734 m²		 N 76.981387°
E 43.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621364593505859 y=0.154521942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621364593505859 × 217)
    floor (0.621364593505859 × 131072)
    floor (81443.5)     		tx = 81443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154521942138672 × 217)
    floor (0.154521942138672 × 131072)
    floor (20253.5)     		ty = 20253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81443 / 20253 ti = "17/81443/20253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81443/20253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81443 ÷ 217
    81443 ÷ 131072     		x = 0.621360778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20253 ÷ 217
    20253 ÷ 131072     		y = 0.154518127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621360778808594 × 2 - 1) × π
    0.242721557617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76253226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154518127441406 × 2 - 1) × π
    0.690963745117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.170726625495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76253226} λ = 0.76253226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.170726625495))-π/2
    2×atan(8.76465034589702)-π/2
    2×1.45719289238267-π/2
    2.91438578476534-1.57079632675     		φ = 1.34358946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76253226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.689880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34358946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.982005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81443 KachelY 20253 0.76253226 1.34358946 43.689880 76.982005
    Oben rechts KachelX + 1 81444 KachelY 20253 0.76258020 1.34358946 43.692627 76.982005
    Unten links KachelX 81443 KachelY + 1 20254 0.76253226 1.34357866 43.689880 76.981387
    Unten rechts KachelX + 1 81444 KachelY + 1 20254 0.76258020 1.34357866 43.692627 76.981387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34358946-1.34357866) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34358946-1.34357866) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76253226-0.76258020) × cos(1.34358946) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225257057839421 × 6371000     		do = 68.7993035809422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76253226-0.76258020) × cos(1.34357866) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225267580259455 × 6371000     		du = 68.8025173988676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34358946)-sin(1.34357866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225257057839421-0.225267580259455)×R²
    abs(0.76258020-0.76253226)×1.05224200340204e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05224200340204e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05224200340204e-05×40589641000000     		ar = 4733.97048801692m²