Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81440 / 20064
↖ ↑ ↗
← N 77.098422°
E 43.681641°		 ← 68.19 m → N 77.098422°
E 43.684387°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.097809°
E 43.681641°		 ← 68.20 m →
4 649 m²		 N 77.097809°
E 43.684387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621341705322266 y=0.153079986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621341705322266 × 217)
    floor (0.621341705322266 × 131072)
    floor (81440.5)     		tx = 81440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153079986572266 × 217)
    floor (0.153079986572266 × 131072)
    floor (20064.5)     		ty = 20064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81440 / 20064 ti = "17/81440/20064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81440/20064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81440 ÷ 217
    81440 ÷ 131072     		x = 0.621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20064 ÷ 217
    20064 ÷ 131072     		y = 0.153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153076171875 × 2 - 1) × π
    0.69384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17978669952319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76238845} λ = 0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17978669952319))-π/2
    2×atan(8.84441953860422)-π/2
    2×1.45820882397282-π/2
    2.91641764794565-1.57079632675     		φ = 1.34562132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34562132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.098422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81440 KachelY 20064 0.76238845 1.34562132 43.681641 77.098422
    Oben rechts KachelX + 1 81441 KachelY 20064 0.76243639 1.34562132 43.684387 77.098422
    Unten links KachelX 81440 KachelY + 1 20065 0.76238845 1.34561062 43.681641 77.097809
    Unten rechts KachelX + 1 81441 KachelY + 1 20065 0.76243639 1.34561062 43.684387 77.097809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34562132-1.34561062) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34562132-1.34561062) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76238845-0.76243639) × cos(1.34562132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223276954306655 × 6371000     		do = 68.1945289940117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76238845-0.76243639) × cos(1.34561062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223287384172877 × 6371000     		du = 68.1977145436204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34562132)-sin(1.34561062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223276954306655-0.223287384172877)×R²
    abs(0.76243639-0.76238845)×1.04298662213786e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04298662213786e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04298662213786e-05×40589641000000     		ar = 4648.90916223114m²