Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8144 / 7696
↖ ↑ ↗
← N 79.671438°
W135.263672°		 ← 109.51 m → N 79.671438°
W135.258179°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
N 79.670453°
W135.263672°		 ← 109.52 m →
11 994 m²		 N 79.670453°
W135.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124275207519531 y=0.117439270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124275207519531 × 216)
    floor (0.124275207519531 × 65536)
    floor (8144.5)     		tx = 8144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117439270019531 × 216)
    floor (0.117439270019531 × 65536)
    floor (7696.5)     		ty = 7696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8144 / 7696 ti = "16/8144/7696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8144/7696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8144 ÷ 216
    8144 ÷ 65536     		x = 0.124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7696 ÷ 216
    7696 ÷ 65536     		y = 0.117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36079643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117431640625 × 2 - 1) × π
    0.76513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4037478945481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36079643} λ = -2.36079643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4037478945481))-π/2
    2×atan(11.0645675998128)-π/2
    2×1.48066261892491-π/2
    2.96132523784983-1.57079632675     		φ = 1.39052891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36079643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39052891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.671438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8144 KachelY 7696 -2.36079643 1.39052891 -135.263672 79.671438
    Oben rechts KachelX + 1 8145 KachelY 7696 -2.36070056 1.39052891 -135.258179 79.671438
    Unten links KachelX 8144 KachelY + 1 7697 -2.36079643 1.39051172 -135.263672 79.670453
    Unten rechts KachelX + 1 8145 KachelY + 1 7697 -2.36070056 1.39051172 -135.258179 79.670453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39052891-1.39051172) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dl = 109.517490000709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39052891-1.39051172) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dr = 109.517490000709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36079643--2.36070056) × cos(1.39052891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179292663348335 × 6371000     		do = 109.509766023888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36079643--2.36070056) × cos(1.39051172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179309574771338 × 6371000     		du = 109.520095314231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39052891)-sin(1.39051172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179292663348335-0.179309574771338)×R²
    abs(-2.36070056--2.36079643)×1.69114230033629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69114230033629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69114230033629e-05×40589641000000     		ar = 11993.8003249939m²