Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81438 / 20133
↖ ↑ ↗
← N 77.056040°
E 43.676148°		 ← 68.40 m → N 77.056040°
E 43.678894°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.055425°
E 43.676148°		 ← 68.40 m →
4 680 m²		 N 77.055425°
E 43.678894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621326446533203 y=0.153606414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621326446533203 × 217)
    floor (0.621326446533203 × 131072)
    floor (81438.5)     		tx = 81438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153606414794922 × 217)
    floor (0.153606414794922 × 131072)
    floor (20133.5)     		ty = 20133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81438 / 20133 ti = "17/81438/20133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81438/20133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81438 ÷ 217
    81438 ÷ 131072     		x = 0.621322631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20133 ÷ 217
    20133 ÷ 131072     		y = 0.153602600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621322631835938 × 2 - 1) × π
    0.242645263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76229258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153602600097656 × 2 - 1) × π
    0.692794799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17647905344941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76229258} λ = 0.76229258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17647905344941))-π/2
    2×atan(8.81521365702952)-π/2
    2×1.45783896752272-π/2
    2.91567793504544-1.57079632675     		φ = 1.34488161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76229258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.676148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34488161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.056040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81438 KachelY 20133 0.76229258 1.34488161 43.676148 77.056040
    Oben rechts KachelX + 1 81439 KachelY 20133 0.76234051 1.34488161 43.678894 77.056040
    Unten links KachelX 81438 KachelY + 1 20134 0.76229258 1.34487087 43.676148 77.055425
    Unten rechts KachelX + 1 81439 KachelY + 1 20134 0.76234051 1.34487087 43.678894 77.055425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34488161-1.34487087) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34488161-1.34487087) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76229258-0.76234051) × cos(1.34488161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223997929211404 × 6371000     		do = 68.4004623798326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76229258-0.76234051) × cos(1.34487087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224008396291006 × 6371000     		du = 68.4036586285078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34488161)-sin(1.34487087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223997929211404-0.224008396291006)×R²
    abs(0.76234051-0.76229258)×1.04670796014505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04670796014505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04670796014505e-05×40589641000000     		ar = 4680.37952523121m²