Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81437 / 19555
↖ ↑ ↗
← N 77.406882°
E 43.673401°		 ← 66.59 m → N 77.406882°
E 43.676148°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.406283°
E 43.673401°		 ← 66.59 m →
4 434 m²		 N 77.406283°
E 43.676148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621318817138672 y=0.149196624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621318817138672 × 217)
    floor (0.621318817138672 × 131072)
    floor (81437.5)     		tx = 81437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149196624755859 × 217)
    floor (0.149196624755859 × 131072)
    floor (19555.5)     		ty = 19555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81437 / 19555 ti = "17/81437/19555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81437/19555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81437 ÷ 217
    81437 ÷ 131072     		x = 0.621315002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19555 ÷ 217
    19555 ÷ 131072     		y = 0.149192810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621315002441406 × 2 - 1) × π
    0.242630004882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.76224464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149192810058594 × 2 - 1) × π
    0.701614379882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.2041865814298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76224464} λ = 0.76224464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2041865814298))-π/2
    2×atan(9.06287665664625)-π/2
    2×1.46090063855621-π/2
    2.92180127711243-1.57079632675     		φ = 1.35100495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76224464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.673401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35100495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.406882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81437 KachelY 19555 0.76224464 1.35100495 43.673401 77.406882
    Oben rechts KachelX + 1 81438 KachelY 19555 0.76229258 1.35100495 43.676148 77.406882
    Unten links KachelX 81437 KachelY + 1 19556 0.76224464 1.35099450 43.673401 77.406283
    Unten rechts KachelX + 1 81438 KachelY + 1 19556 0.76229258 1.35099450 43.676148 77.406283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35100495-1.35099450) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35100495-1.35099450) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76224464-0.76229258) × cos(1.35100495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218026023479541 × 6371000     		do = 66.5907595604524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76224464-0.76229258) × cos(1.35099450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218036222071525 × 6371000     		du = 66.5938744729561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35100495)-sin(1.35099450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218026023479541-0.218036222071525)×R²
    abs(0.76229258-0.76224464)×1.01985919840064e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01985919840064e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01985919840064e-05×40589641000000     		ar = 4433.51336047018m²