Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81433 / 19570
↖ ↑ ↗
← N 77.397896°
E 43.662414°		 ← 66.64 m → N 77.397896°
E 43.665161°		 →
↑
66.64 m
↓
↑
66.64 m
↓
N 77.397297°
E 43.662414°		 ← 66.64 m →
4 441 m²		 N 77.397297°
E 43.665161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621288299560547 y=0.149311065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621288299560547 × 217)
    floor (0.621288299560547 × 131072)
    floor (81433.5)     		tx = 81433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149311065673828 × 217)
    floor (0.149311065673828 × 131072)
    floor (19570.5)     		ty = 19570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81433 / 19570 ti = "17/81433/19570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81433/19570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81433 ÷ 217
    81433 ÷ 131072     		x = 0.621284484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19570 ÷ 217
    19570 ÷ 131072     		y = 0.149307250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621284484863281 × 2 - 1) × π
    0.242568969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76205289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149307250976562 × 2 - 1) × π
    0.701385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2034675279355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76205289} λ = 0.76205289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2034675279355))-π/2
    2×atan(9.05636230588189)-π/2
    2×1.46082222485924-π/2
    2.92164444971848-1.57079632675     		φ = 1.35084812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76205289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.662414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35084812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.397896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81433 KachelY 19570 0.76205289 1.35084812 43.662414 77.397896
    Oben rechts KachelX + 1 81434 KachelY 19570 0.76210083 1.35084812 43.665161 77.397896
    Unten links KachelX 81433 KachelY + 1 19571 0.76205289 1.35083766 43.662414 77.397297
    Unten rechts KachelX + 1 81434 KachelY + 1 19571 0.76210083 1.35083766 43.665161 77.397297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35084812-1.35083766) × R
    1.04599999999344e-05 × 6371000     		dl = 66.6406599995821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35084812-1.35083766) × R
    1.04599999999344e-05 × 6371000     		dr = 66.6406599995821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76205289-0.76210083) × cos(1.35084812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218179077931434 × 6371000     		do = 66.6375063296823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76205289-0.76210083) × cos(1.35083766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218189285925032 × 6371000     		du = 66.6406241136809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35084812)-sin(1.35083766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218179077931434-0.218189285925032)×R²
    abs(0.76210083-0.76205289)×1.02079935978272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02079935978272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02079935978272e-05×40589641000000     		ar = 4440.87128815628m²