Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81432 / 19571
↖ ↑ ↗
← N 77.397297°
E 43.659668°		 ← 66.63 m → N 77.397297°
E 43.662414°		 →
↑
66.64 m
↓
↑
66.64 m
↓
N 77.396697°
E 43.659668°		 ← 66.63 m →
4 440 m²		 N 77.396697°
E 43.662414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621280670166016 y=0.149318695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621280670166016 × 217)
    floor (0.621280670166016 × 131072)
    floor (81432.5)     		tx = 81432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149318695068359 × 217)
    floor (0.149318695068359 × 131072)
    floor (19571.5)     		ty = 19571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81432 / 19571 ti = "17/81432/19571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81432/19571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81432 ÷ 217
    81432 ÷ 131072     		x = 0.62127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19571 ÷ 217
    19571 ÷ 131072     		y = 0.149314880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62127685546875 × 2 - 1) × π
    0.2425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76200496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149314880371094 × 2 - 1) × π
    0.701370239257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20341959103588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76200496} λ = 0.76200496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20341959103588))-π/2
    2×atan(9.05592818235646)-π/2
    2×1.46081699532271-π/2
    2.92163399064541-1.57079632675     		φ = 1.35083766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76200496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35083766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.397297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81432 KachelY 19571 0.76200496 1.35083766 43.659668 77.397297
    Oben rechts KachelX + 1 81433 KachelY 19571 0.76205289 1.35083766 43.662414 77.397297
    Unten links KachelX 81432 KachelY + 1 19572 0.76200496 1.35082720 43.659668 77.396697
    Unten rechts KachelX + 1 81433 KachelY + 1 19572 0.76205289 1.35082720 43.662414 77.396697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35083766-1.35082720) × R
    1.04600000001565e-05 × 6371000     		dl = 66.6406600009968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35083766-1.35082720) × R
    1.04600000001565e-05 × 6371000     		dr = 66.6406600009968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76200496-0.76205289) × cos(1.35083766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218189285925032 × 6371000     		do = 66.6267232743591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76200496-0.76205289) × cos(1.35082720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218199493894758 × 6371000     		du = 66.6298404007166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35083766)-sin(1.35082720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218189285925032-0.218199493894758)×R²
    abs(0.76205289-0.76200496)×1.02079697255619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02079697255619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02079697255619e-05×40589641000000     		ar = 4440.15267629883m²