Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8143 / 3955
↖ ↑ ↗
← N 67.717778°
W  1.076660°		 ← 926.39 m → N 67.717778°
W  1.054688°		 →
↑
926.53 m
↓
↑
926.53 m
↓
N 67.709446°
W  1.076660°		 ← 926.72 m →
858 486 m²		 N 67.709446°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497039794921875 y=0.241424560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497039794921875 × 214)
    floor (0.497039794921875 × 16384)
    floor (8143.5)     		tx = 8143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241424560546875 × 214)
    floor (0.241424560546875 × 16384)
    floor (3955.5)     		ty = 3955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8143 / 3955 ti = "14/8143/3955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8143/3955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8143 ÷ 214
    8143 ÷ 16384     		x = 0.49700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3955 ÷ 214
    3955 ÷ 16384     		y = 0.24139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24139404296875 × 2 - 1) × π
    0.5172119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62486914952142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01879126} λ = -0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62486914952142))-π/2
    2×atan(5.07775456709272)-π/2
    2×1.37634726023443-π/2
    2.75269452046885-1.57079632675     		φ = 1.18189819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18189819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.717778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8143 KachelY 3955 -0.01879126 1.18189819 -1.076660 67.717778
    Oben rechts KachelX + 1 8144 KachelY 3955 -0.01840777 1.18189819 -1.054688 67.717778
    Unten links KachelX 8143 KachelY + 1 3956 -0.01879126 1.18175276 -1.076660 67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 8144 KachelY + 1 3956 -0.01840777 1.18175276 -1.054688 67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18189819-1.18175276) × R
    0.000145430000000113 × 6371000     		dl = 926.53453000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18189819-1.18175276) × R
    0.000145430000000113 × 6371000     		dr = 926.53453000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01879126--0.01840777) × cos(1.18189819) × R
    0.00038349 × 0.379169061274424 × 6371000     		do = 926.39145841609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01879126--0.01840777) × cos(1.18175276) × R
    0.00038349 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 926.720232926433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18189819)-sin(1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379169061274424-0.379303627630067)×R²
    abs(-0.01840777--0.01879126)×0.00013456635564274×R²
    0.00038349×0.00013456635564274×6371000²
    0.00038349×0.00013456635564274×40589641000000     		ar = 858485.986502039m²