Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81429 / 19549
↖ ↑ ↗
← N 77.410474°
E 43.651428°		 ← 66.56 m → N 77.410474°
E 43.654175°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.409875°
E 43.651428°		 ← 66.56 m →
4 431 m²		 N 77.409875°
E 43.654175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621257781982422 y=0.149150848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621257781982422 × 217)
    floor (0.621257781982422 × 131072)
    floor (81429.5)     		tx = 81429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149150848388672 × 217)
    floor (0.149150848388672 × 131072)
    floor (19549.5)     		ty = 19549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81429 / 19549 ti = "17/81429/19549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81429/19549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81429 ÷ 217
    81429 ÷ 131072     		x = 0.621253967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19549 ÷ 217
    19549 ÷ 131072     		y = 0.149147033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621253967285156 × 2 - 1) × π
    0.242507934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76186115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149147033691406 × 2 - 1) × π
    0.701705932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.20447420282752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76186115} λ = 0.76186115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20447420282752))-π/2
    2×atan(9.06548370880162)-π/2
    2×1.46093198863073-π/2
    2.92186397726147-1.57079632675     		φ = 1.35106765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76186115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.651428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35106765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.410474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81429 KachelY 19549 0.76186115 1.35106765 43.651428 77.410474
    Oben rechts KachelX + 1 81430 KachelY 19549 0.76190908 1.35106765 43.654175 77.410474
    Unten links KachelX 81429 KachelY + 1 19550 0.76186115 1.35105720 43.651428 77.409875
    Unten rechts KachelX + 1 81430 KachelY + 1 19550 0.76190908 1.35105720 43.654175 77.409875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35106765-1.35105720) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35106765-1.35105720) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76186115-0.76190908) × cos(1.35106765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217964831427687 × 6371000     		do = 66.558183393407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76186115-0.76190908) × cos(1.35105720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217975030162508 × 6371000     		du = 66.5612976997754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35106765)-sin(1.35105720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217964831427687-0.217975030162508)×R²
    abs(0.76190908-0.76186115)×1.01987348212207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01987348212207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01987348212207e-05×40589641000000     		ar = 4431.34451831176m²