Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81429 / 19546
↖ ↑ ↗
← N 77.412270°
E 43.651428°		 ← 66.55 m → N 77.412270°
E 43.654175°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.411672°
E 43.651428°		 ← 66.55 m →
4 426 m²		 N 77.411672°
E 43.654175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621257781982422 y=0.149127960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621257781982422 × 217)
    floor (0.621257781982422 × 131072)
    floor (81429.5)     		tx = 81429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149127960205078 × 217)
    floor (0.149127960205078 × 131072)
    floor (19546.5)     		ty = 19546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81429 / 19546 ti = "17/81429/19546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81429/19546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81429 ÷ 217
    81429 ÷ 131072     		x = 0.621253967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19546 ÷ 217
    19546 ÷ 131072     		y = 0.149124145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621253967285156 × 2 - 1) × π
    0.242507934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76186115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149124145507812 × 2 - 1) × π
    0.701751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20461801352638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76186115} λ = 0.76186115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20461801352638))-π/2
    2×atan(9.06678751609776)-π/2
    2×1.46094766036825-π/2
    2.92189532073651-1.57079632675     		φ = 1.35109899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76186115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.651428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35109899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.412270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81429 KachelY 19546 0.76186115 1.35109899 43.651428 77.412270
    Oben rechts KachelX + 1 81430 KachelY 19546 0.76190908 1.35109899 43.654175 77.412270
    Unten links KachelX 81429 KachelY + 1 19547 0.76186115 1.35108855 43.651428 77.411672
    Unten rechts KachelX + 1 81430 KachelY + 1 19547 0.76190908 1.35108855 43.654175 77.411672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35109899-1.35108855) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35109899-1.35108855) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76186115-0.76190908) × cos(1.35109899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217934244840048 × 6371000     		do = 66.5488434109149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76186115-0.76190908) × cos(1.35108855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217944433886638 × 6371000     		du = 66.5519547588654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35109899)-sin(1.35108855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217934244840048-0.217944433886638)×R²
    abs(0.76190908-0.76186115)×1.01890465903087e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01890465903087e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01890465903087e-05×40589641000000     		ar = 4426.48266639385m²