Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81428 / 20244
↖ ↑ ↗
← N 76.987572°
E 43.648682°		 ← 68.77 m → N 76.987572°
E 43.651428°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.986954°
E 43.648682°		 ← 68.77 m →
4 728 m²		 N 76.986954°
E 43.651428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621250152587891 y=0.154453277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621250152587891 × 217)
    floor (0.621250152587891 × 131072)
    floor (81428.5)     		tx = 81428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154453277587891 × 217)
    floor (0.154453277587891 × 131072)
    floor (20244.5)     		ty = 20244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81428 / 20244 ti = "17/81428/20244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81428/20244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81428 ÷ 217
    81428 ÷ 131072     		x = 0.621246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20244 ÷ 217
    20244 ÷ 131072     		y = 0.154449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621246337890625 × 2 - 1) × π
    0.24249267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76181321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154449462890625 × 2 - 1) × π
    0.69110107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17115805759158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76181321} λ = 0.76181321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17115805759158))-π/2
    2×atan(8.76843251318706)-π/2
    2×1.45724147373423-π/2
    2.91448294746846-1.57079632675     		φ = 1.34368662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76181321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34368662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.987572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81428 KachelY 20244 0.76181321 1.34368662 43.648682 76.987572
    Oben rechts KachelX + 1 81429 KachelY 20244 0.76186115 1.34368662 43.651428 76.987572
    Unten links KachelX 81428 KachelY + 1 20245 0.76181321 1.34367583 43.648682 76.986954
    Unten rechts KachelX + 1 81429 KachelY + 1 20245 0.76186115 1.34367583 43.651428 76.986954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34368662-1.34367583) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34368662-1.34367583) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76181321-0.76186115) × cos(1.34368662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225162393849784 × 6371000     		do = 68.7703907616966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76181321-0.76186115) × cos(1.34367583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225172906762954 × 6371000     		du = 68.7736016759811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34368662)-sin(1.34367583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225162393849784-0.225172906762954)×R²
    abs(0.76186115-0.76181321)×1.05129131700576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05129131700576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05129131700576e-05×40589641000000     		ar = 4727.59952554745m²