Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81427 / 19574
↖ ↑ ↗
← N 77.395499°
E 43.645935°		 ← 66.65 m → N 77.395499°
E 43.648682°		 →
↑
66.64 m
↓
↑
66.64 m
↓
N 77.394899°
E 43.645935°		 ← 66.65 m →
4 442 m²		 N 77.394899°
E 43.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621242523193359 y=0.149341583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621242523193359 × 217)
    floor (0.621242523193359 × 131072)
    floor (81427.5)     		tx = 81427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149341583251953 × 217)
    floor (0.149341583251953 × 131072)
    floor (19574.5)     		ty = 19574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81427 / 19574 ti = "17/81427/19574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81427/19574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81427 ÷ 217
    81427 ÷ 131072     		x = 0.621238708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19574 ÷ 217
    19574 ÷ 131072     		y = 0.149337768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621238708496094 × 2 - 1) × π
    0.242477416992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76176527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149337768554688 × 2 - 1) × π
    0.701324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20327578033702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76176527} λ = 0.76176527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20327578033702))-π/2
    2×atan(9.05462593663641)-π/2
    2×1.46080130524514-π/2
    2.92160261049028-1.57079632675     		φ = 1.35080628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76176527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.645935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35080628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.395499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81427 KachelY 19574 0.76176527 1.35080628 43.645935 77.395499
    Oben rechts KachelX + 1 81428 KachelY 19574 0.76181321 1.35080628 43.648682 77.395499
    Unten links KachelX 81427 KachelY + 1 19575 0.76176527 1.35079582 43.645935 77.394899
    Unten rechts KachelX + 1 81428 KachelY + 1 19575 0.76181321 1.35079582 43.648682 77.394899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35080628-1.35079582) × R
    1.04599999999344e-05 × 6371000     		dl = 66.6406599995821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35080628-1.35079582) × R
    1.04599999999344e-05 × 6371000     		dr = 66.6406599995821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76176527-0.76181321) × cos(1.35080628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218219909762587 × 6371000     		do = 66.6499774219276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76176527-0.76181321) × cos(1.35079582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218230117660688 × 6371000     		du = 66.653095176759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35080628)-sin(1.35079582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218219909762587-0.218230117660688)×R²
    abs(0.76181321-0.76176527)×1.02078981013554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02078981013554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02078981013554e-05×40589641000000     		ar = 4441.70236902533m²