Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81425 / 114962
↖ ↑ ↗
← S 79.311812°
E 43.640442°		 ← 56.63 m → S 79.311812°
E 43.643188°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.312322°
E 43.640442°		 ← 56.63 m →
3 211 m²		 S 79.312322°
E 43.643188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621227264404297 y=0.877094268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621227264404297 × 217)
    floor (0.621227264404297 × 131072)
    floor (81425.5)     		tx = 81425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877094268798828 × 217)
    floor (0.877094268798828 × 131072)
    floor (114962.5)     		ty = 114962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81425 / 114962 ti = "17/81425/114962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81425/114962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81425 ÷ 217
    81425 ÷ 131072     		x = 0.621223449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114962 ÷ 217
    114962 ÷ 131072     		y = 0.877090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621223449707031 × 2 - 1) × π
    0.242446899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.76166940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.754180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3693292006209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76166940} λ = 0.76166940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3693292006209))-π/2
    2×atan(0.0935434541277532)-π/2
    2×0.0932720308874412-π/2
    0.186544061774882-1.57079632675     		φ = -1.38425226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76166940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.640442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38425226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.311812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81425 KachelY 114962 0.76166940 -1.38425226 43.640442 -79.311812
    Oben rechts KachelX + 1 81426 KachelY 114962 0.76171733 -1.38425226 43.643188 -79.311812
    Unten links KachelX 81425 KachelY + 1 114963 0.76166940 -1.38426116 43.640442 -79.312322
    Unten rechts KachelX + 1 81426 KachelY + 1 114963 0.76171733 -1.38426116 43.643188 -79.312322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38425226--1.38426116) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38425226--1.38426116) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76166940-0.76171733) × cos(-1.38425226) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185464032873754 × 6371000     		do = 56.6336735702197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76166940-0.76171733) × cos(-1.38426116) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185455287272035 × 6371000     		du = 56.6310029955251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38425226)-sin(-1.38426116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185464032873754-0.185455287272035)×R²
    abs(0.76171733-0.76166940)×8.74560171945649e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.74560171945649e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.74560171945649e-06×40589641000000     		ar = 3211.16118213808m²