Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81424 / 114928
↖ ↑ ↗
← S 79.294479°
E 43.637695°		 ← 56.74 m → S 79.294479°
E 43.640442°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.294990°
E 43.637695°		 ← 56.73 m →
3 221 m²		 S 79.294990°
E 43.640442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621219635009766 y=0.876834869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621219635009766 × 217)
    floor (0.621219635009766 × 131072)
    floor (81424.5)     		tx = 81424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876834869384766 × 217)
    floor (0.876834869384766 × 131072)
    floor (114928.5)     		ty = 114928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81424 / 114928 ti = "17/81424/114928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81424/114928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81424 ÷ 217
    81424 ÷ 131072     		x = 0.6212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114928 ÷ 217
    114928 ÷ 131072     		y = 0.8768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6212158203125 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76162146} λ = 0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36769934603381))-π/2
    2×atan(0.0936960406687138)-π/2
    2×0.0934232916791461-π/2
    0.186846583358292-1.57079632675     		φ = -1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81424 KachelY 114928 0.76162146 -1.38394974 43.637695 -79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 81425 KachelY 114928 0.76166940 -1.38394974 43.640442 -79.294479
    Unten links KachelX 81424 KachelY + 1 114929 0.76162146 -1.38395865 43.637695 -79.294990
    Unten rechts KachelX + 1 81425 KachelY + 1 114929 0.76166940 -1.38395865 43.640442 -79.294990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38394974--1.38395865) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38394974--1.38395865) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76162146-0.76166940) × cos(-1.38394974) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 56.7362812878932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76162146-0.76166940) × cos(-1.38395865) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185752541051229 × 6371000     		du = 56.733607307546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38394974)-sin(-1.38395865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185752541051229)×R²
    abs(0.76166940-0.76162146)×8.75492794799593e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.75492794799593e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.75492794799593e-06×40589641000000     		ar = 3220.59372135515m²