Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8141 / 25793
↖ ↑ ↗
← S 71.304315°
W 90.560302°		 ← 391.57 m → S 71.304315°
W 90.549317°		 →
↑
391.56 m
↓
↑
391.56 m
↓
S 71.307836°
W 90.560302°		 ← 391.49 m →
153 308 m²		 S 71.307836°
W 90.549317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248458862304688 y=0.787155151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248458862304688 × 215)
    floor (0.248458862304688 × 32768)
    floor (8141.5)     		tx = 8141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787155151367188 × 215)
    floor (0.787155151367188 × 32768)
    floor (25793.5)     		ty = 25793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8141 / 25793 ti = "15/8141/25793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8141/25793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8141 ÷ 215
    8141 ÷ 32768     		x = 0.248443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25793 ÷ 215
    25793 ÷ 32768     		y = 0.787139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.50311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.58057545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.57427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80415315410043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58057545} λ = -1.58057545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80415315410043))-π/2
    2×atan(0.164613800089204)-π/2
    2×0.163150631231469-π/2
    0.326301262462938-1.57079632675     		φ = -1.24449506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58057545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.560302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24449506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.304315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8141 KachelY 25793 -1.58057545 -1.24449506 -90.560302 -71.304315
    Oben rechts KachelX + 1 8142 KachelY 25793 -1.58038371 -1.24449506 -90.549317 -71.304315
    Unten links KachelX 8141 KachelY + 1 25794 -1.58057545 -1.24455652 -90.560302 -71.307836
    Unten rechts KachelX + 1 8142 KachelY + 1 25794 -1.58038371 -1.24455652 -90.549317 -71.307836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24449506--1.24455652) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dl = 391.56165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24449506--1.24455652) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dr = 391.56165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58057545--1.58038371) × cos(-1.24449506) × R
    0.000191739999999996 × 0.32054166159044 × 6371000     		do = 391.565853349831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58057545--1.58038371) × cos(-1.24455652) × R
    0.000191739999999996 × 0.320483443957733 × 6371000     		du = 391.494736113719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24449506)-sin(-1.24455652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32054166159044-0.320483443957733)×R²
    abs(-1.58038371--1.58057545)×5.8217632707247e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8217632707247e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8217632707247e-05×40589641000000     		ar = 153308.252194215m²