Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81403 / 19499
↖ ↑ ↗
← N 77.440372°
E 43.580017°		 ← 66.40 m → N 77.440372°
E 43.582763°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.439775°
E 43.580017°		 ← 66.41 m →
4 413 m²		 N 77.439775°
E 43.582763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621059417724609 y=0.148769378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621059417724609 × 217)
    floor (0.621059417724609 × 131072)
    floor (81403.5)     		tx = 81403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148769378662109 × 217)
    floor (0.148769378662109 × 131072)
    floor (19499.5)     		ty = 19499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81403 / 19499 ti = "17/81403/19499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81403/19499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81403 ÷ 217
    81403 ÷ 131072     		x = 0.621055603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19499 ÷ 217
    19499 ÷ 131072     		y = 0.148765563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621055603027344 × 2 - 1) × π
    0.242111206054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.76061479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148765563964844 × 2 - 1) × π
    0.702468872070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.20687104780853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76061479} λ = 0.76061479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20687104780853))-π/2
    2×atan(9.08723832874045)-π/2
    2×1.46119289729452-π/2
    2.92238579458904-1.57079632675     		φ = 1.35158947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76061479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.580017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35158947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.440372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81403 KachelY 19499 0.76061479 1.35158947 43.580017 77.440372
    Oben rechts KachelX + 1 81404 KachelY 19499 0.76066272 1.35158947 43.582763 77.440372
    Unten links KachelX 81403 KachelY + 1 19500 0.76061479 1.35157904 43.580017 77.439775
    Unten rechts KachelX + 1 81404 KachelY + 1 19500 0.76066272 1.35157904 43.582763 77.439775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35158947-1.35157904) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35158947-1.35157904) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76061479-0.76066272) × cos(1.35158947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217455528089687 × 6371000     		do = 66.4026614922296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76061479-0.76066272) × cos(1.35157904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217465708490355 × 6371000     		du = 66.4057702000437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35158947)-sin(1.35157904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217455528089687-0.217465708490355)×R²
    abs(0.76066272-0.76061479)×1.01804006675255e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01804006675255e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01804006675255e-05×40589641000000     		ar = 4412.52893296348m²