Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81402 / 19498
↖ ↑ ↗
← N 77.440969°
E 43.577271°		 ← 66.41 m → N 77.440969°
E 43.580017°		 →
↑
66.39 m
↓
↑
66.39 m
↓
N 77.440372°
E 43.577271°		 ← 66.42 m →
4 409 m²		 N 77.440372°
E 43.580017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621051788330078 y=0.148761749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621051788330078 × 217)
    floor (0.621051788330078 × 131072)
    floor (81402.5)     		tx = 81402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148761749267578 × 217)
    floor (0.148761749267578 × 131072)
    floor (19498.5)     		ty = 19498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81402 / 19498 ti = "17/81402/19498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81402/19498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81402 ÷ 217
    81402 ÷ 131072     		x = 0.621047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19498 ÷ 217
    19498 ÷ 131072     		y = 0.148757934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621047973632812 × 2 - 1) × π
    0.242095947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76056685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148757934570312 × 2 - 1) × π
    0.702484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20691898470815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76056685} λ = 0.76056685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20691898470815))-π/2
    2×atan(9.0876739532132)-π/2
    2×1.46119810924455-π/2
    2.92239621848909-1.57079632675     		φ = 1.35159989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76056685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.577271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35159989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.440969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81402 KachelY 19498 0.76056685 1.35159989 43.577271 77.440969
    Oben rechts KachelX + 1 81403 KachelY 19498 0.76061479 1.35159989 43.580017 77.440969
    Unten links KachelX 81402 KachelY + 1 19499 0.76056685 1.35158947 43.577271 77.440372
    Unten rechts KachelX + 1 81403 KachelY + 1 19499 0.76061479 1.35158947 43.580017 77.440372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35159989-1.35158947) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dl = 66.3858199997163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35159989-1.35158947) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dr = 66.3858199997163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76056685-0.76061479) × cos(1.35159989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217445357426089 × 6371000     		do = 66.4134092013841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76056685-0.76061479) × cos(1.35158947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217455528089687 × 6371000     		du = 66.41651558384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35159989)-sin(1.35158947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217445357426089-0.217455528089687)×R²
    abs(0.76061479-0.76056685)×1.01706635984855e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01706635984855e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01706635984855e-05×40589641000000     		ar = 4409.01173865534m²