Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81400 / 19507
↖ ↑ ↗
← N 77.435593°
E 43.571778°		 ← 66.43 m → N 77.435593°
E 43.574524°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.434996°
E 43.571778°		 ← 66.43 m →
4 414 m²		 N 77.434996°
E 43.574524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621036529541016 y=0.148830413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621036529541016 × 217)
    floor (0.621036529541016 × 131072)
    floor (81400.5)     		tx = 81400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148830413818359 × 217)
    floor (0.148830413818359 × 131072)
    floor (19507.5)     		ty = 19507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81400 / 19507 ti = "17/81400/19507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81400/19507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81400 ÷ 217
    81400 ÷ 131072     		x = 0.62103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19507 ÷ 217
    19507 ÷ 131072     		y = 0.148826599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62103271484375 × 2 - 1) × π
    0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148826599121094 × 2 - 1) × π
    0.702346801757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20648755261156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76047098} λ = 0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20648755261156))-π/2
    2×atan(9.08375408462589)-π/2
    2×1.461151192914-π/2
    2.922302385828-1.57079632675     		φ = 1.35150606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35150606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.435593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81400 KachelY 19507 0.76047098 1.35150606 43.571778 77.435593
    Oben rechts KachelX + 1 81401 KachelY 19507 0.76051891 1.35150606 43.574524 77.435593
    Unten links KachelX 81400 KachelY + 1 19508 0.76047098 1.35149563 43.571778 77.434996
    Unten rechts KachelX + 1 81401 KachelY + 1 19508 0.76051891 1.35149563 43.574524 77.434996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35150606-1.35149563) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35150606-1.35149563) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76047098-0.76051891) × cos(1.35150606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217536941351008 × 6371000     		do = 66.4275220109755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76047098-0.76051891) × cos(1.35149563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217547121562457 × 6371000     		du = 66.4306306610093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35150606)-sin(1.35149563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217536941351008-0.217547121562457)×R²
    abs(0.76051891-0.76047098)×1.01802114487182e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01802114487182e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01802114487182e-05×40589641000000     		ar = 4414.18090080199m²