Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8140 / 25792
↖ ↑ ↗
← S 71.300793°
W 90.571289°		 ← 391.66 m → S 71.300793°
W 90.560302°		 →
↑
391.56 m
↓
↑
391.56 m
↓
S 71.304315°
W 90.571289°		 ← 391.59 m →
153 344 m²		 S 71.304315°
W 90.560302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248428344726562 y=0.787124633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248428344726562 × 215)
    floor (0.248428344726562 × 32768)
    floor (8140.5)     		tx = 8140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787124633789062 × 215)
    floor (0.787124633789062 × 32768)
    floor (25792.5)     		ty = 25792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8140 / 25792 ti = "15/8140/25792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8140/25792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8140 ÷ 215
    8140 ÷ 32768     		x = 0.2484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25792 ÷ 215
    25792 ÷ 32768     		y = 0.787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.58076720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787109375 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58076720} λ = -1.58076720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80396140650195))-π/2
    2×atan(0.164645367416431)-π/2
    2×0.163181365569021-π/2
    0.326362731138042-1.57079632675     		φ = -1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58076720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8140 KachelY 25792 -1.58076720 -1.24443360 -90.571289 -71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 8141 KachelY 25792 -1.58057545 -1.24443360 -90.560302 -71.300793
    Unten links KachelX 8140 KachelY + 1 25793 -1.58076720 -1.24449506 -90.571289 -71.304315
    Unten rechts KachelX + 1 8141 KachelY + 1 25793 -1.58057545 -1.24449506 -90.560302 -71.304315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24443360--1.24449506) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dl = 391.56165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24443360--1.24449506) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dr = 391.56165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58076720--1.58057545) × cos(-1.24443360) × R
    0.000191749999999935 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 391.657394524973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58076720--1.58057545) × cos(-1.24449506) × R
    0.000191749999999935 × 0.32054166159044 × 6371000     		du = 391.586275058967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24443360)-sin(-1.24449506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.32054166159044)×R²
    abs(-1.58057545--1.58076720)×5.82164219150583e-05×R²
    0.000191749999999935×5.82164219150583e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.82164219150583e-05×40589641000000     		ar = 153344.095770802m²