Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81397 / 19511
↖ ↑ ↗
← N 77.433203°
E 43.563537°		 ← 66.45 m → N 77.433203°
E 43.566284°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.432605°
E 43.563537°		 ← 66.46 m →
4 416 m²		 N 77.432605°
E 43.566284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621013641357422 y=0.148860931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621013641357422 × 217)
    floor (0.621013641357422 × 131072)
    floor (81397.5)     		tx = 81397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148860931396484 × 217)
    floor (0.148860931396484 × 131072)
    floor (19511.5)     		ty = 19511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81397 / 19511 ti = "17/81397/19511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81397/19511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81397 ÷ 217
    81397 ÷ 131072     		x = 0.621009826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19511 ÷ 217
    19511 ÷ 131072     		y = 0.148857116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621009826660156 × 2 - 1) × π
    0.242019653320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76032716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148857116699219 × 2 - 1) × π
    0.702285766601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.20629580501308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76032716} λ = 0.76032716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20629580501308))-π/2
    2×atan(9.08201246357614)-π/2
    2×1.46113033486908-π/2
    2.92226066973816-1.57079632675     		φ = 1.35146434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76032716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.563537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35146434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.433203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81397 KachelY 19511 0.76032716 1.35146434 43.563537 77.433203
    Oben rechts KachelX + 1 81398 KachelY 19511 0.76037510 1.35146434 43.566284 77.433203
    Unten links KachelX 81397 KachelY + 1 19512 0.76032716 1.35145391 43.563537 77.432605
    Unten rechts KachelX + 1 81398 KachelY + 1 19512 0.76037510 1.35145391 43.566284 77.432605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35146434-1.35145391) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35146434-1.35145391) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76032716-0.76037510) × cos(1.35146434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217577662054804 × 6371000     		do = 66.4538184405149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76032716-0.76037510) × cos(1.35145391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217587842171583 × 6371000     		du = 66.4569277102153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35146434)-sin(1.35145391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217577662054804-0.217587842171583)×R²
    abs(0.76037510-0.76032716)×1.01801167786963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01801167786963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01801167786963e-05×40589641000000     		ar = 4415.92830684644m²