Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81395 / 114991
↖ ↑ ↗
← S 79.326575°
E 43.558044°		 ← 56.57 m → S 79.326575°
E 43.560791°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.327083°
E 43.558044°		 ← 56.57 m →
3 197 m²		 S 79.327083°
E 43.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620998382568359 y=0.877315521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620998382568359 × 217)
    floor (0.620998382568359 × 131072)
    floor (81395.5)     		tx = 81395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877315521240234 × 217)
    floor (0.877315521240234 × 131072)
    floor (114991.5)     		ty = 114991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81395 / 114991 ti = "17/81395/114991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81395/114991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81395 ÷ 217
    81395 ÷ 131072     		x = 0.620994567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114991 ÷ 217
    114991 ÷ 131072     		y = 0.877311706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620994567871094 × 2 - 1) × π
    0.241989135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76023129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877311706542969 × 2 - 1) × π
    -0.754623413085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.37071937070988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76023129} λ = 0.76023129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37071937070988))-π/2
    2×atan(0.0934135031637047)-π/2
    2×0.0931432056277971-π/2
    0.186286411255594-1.57079632675     		φ = -1.38450992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76023129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.558044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38450992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.326575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81395 KachelY 114991 0.76023129 -1.38450992 43.558044 -79.326575
    Oben rechts KachelX + 1 81396 KachelY 114991 0.76027923 -1.38450992 43.560791 -79.326575
    Unten links KachelX 81395 KachelY + 1 114992 0.76023129 -1.38451879 43.558044 -79.327083
    Unten rechts KachelX + 1 81396 KachelY + 1 114992 0.76027923 -1.38451879 43.560791 -79.327083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38450992--1.38451879) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38450992--1.38451879) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76023129-0.76027923) × cos(-1.38450992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185210836849812 × 6371000     		do = 56.568156900836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76023129-0.76027923) × cos(-1.38451879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185202120304105 × 6371000     		du = 56.5654946434133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38450992)-sin(-1.38451879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185210836849812-0.185202120304105)×R²
    abs(0.76027923-0.76023129)×8.71654570677727e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71654570677727e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71654570677727e-06×40589641000000     		ar = 3196.63488104411m²