Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81393 / 19539
↖ ↑ ↗
← N 77.416459°
E 43.552551°		 ← 66.53 m → N 77.416459°
E 43.555298°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.415861°
E 43.552551°		 ← 66.53 m →
4 425 m²		 N 77.415861°
E 43.555298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620983123779297 y=0.149074554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620983123779297 × 217)
    floor (0.620983123779297 × 131072)
    floor (81393.5)     		tx = 81393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149074554443359 × 217)
    floor (0.149074554443359 × 131072)
    floor (19539.5)     		ty = 19539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81393 / 19539 ti = "17/81393/19539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81393/19539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81393 ÷ 217
    81393 ÷ 131072     		x = 0.620979309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19539 ÷ 217
    19539 ÷ 131072     		y = 0.149070739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620979309082031 × 2 - 1) × π
    0.241958618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.76013542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149070739746094 × 2 - 1) × π
    0.701858520507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20495357182372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76013542} λ = 0.76013542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20495357182372))-π/2
    2×atan(9.06983046239339)-π/2
    2×1.46098421920294-π/2
    2.92196843840588-1.57079632675     		φ = 1.35117211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76013542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.552551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35117211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.416459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81393 KachelY 19539 0.76013542 1.35117211 43.552551 77.416459
    Oben rechts KachelX + 1 81394 KachelY 19539 0.76018335 1.35117211 43.555298 77.416459
    Unten links KachelX 81393 KachelY + 1 19540 0.76013542 1.35116167 43.552551 77.415861
    Unten rechts KachelX + 1 81394 KachelY + 1 19540 0.76018335 1.35116167 43.555298 77.415861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35117211-1.35116167) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35117211-1.35116167) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76013542-0.76018335) × cos(1.35117211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217862881809707 × 6371000     		do = 66.527051851103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76013542-0.76018335) × cos(1.35116167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217873071022639 × 6371000     		du = 66.530163249848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35117211)-sin(1.35116167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217862881809707-0.217873071022639)×R²
    abs(0.76018335-0.76013542)×1.01892129320269e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01892129320269e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01892129320269e-05×40589641000000     		ar = 4425.03324087227m²