Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81391 / 20396
↖ ↑ ↗
← N 76.893237°
E 43.547058°		 ← 69.26 m → N 76.893237°
E 43.549805°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.892614°
E 43.547058°		 ← 69.26 m →
4 797 m²		 N 76.892614°
E 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620967864990234 y=0.155612945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620967864990234 × 217)
    floor (0.620967864990234 × 131072)
    floor (81391.5)     		tx = 81391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155612945556641 × 217)
    floor (0.155612945556641 × 131072)
    floor (20396.5)     		ty = 20396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81391 / 20396 ti = "17/81391/20396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81391/20396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81391 ÷ 217
    81391 ÷ 131072     		x = 0.620964050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20396 ÷ 217
    20396 ÷ 131072     		y = 0.155609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620964050292969 × 2 - 1) × π
    0.241928100585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76003954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155609130859375 × 2 - 1) × π
    0.68878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16387164884933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76003954} λ = 0.76003954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16387164884933))-π/2
    2×atan(8.7047743312772)-π/2
    2×1.45641824276368-π/2
    2.91283648552736-1.57079632675     		φ = 1.34204016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76003954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.547058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34204016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.893237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81391 KachelY 20396 0.76003954 1.34204016 43.547058 76.893237
    Oben rechts KachelX + 1 81392 KachelY 20396 0.76008748 1.34204016 43.549805 76.893237
    Unten links KachelX 81391 KachelY + 1 20397 0.76003954 1.34202929 43.547058 76.892614
    Unten rechts KachelX + 1 81392 KachelY + 1 20397 0.76008748 1.34202929 43.549805 76.892614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34204016-1.34202929) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dl = 69.2527700006829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34204016-1.34202929) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dr = 69.2527700006829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76003954-0.76008748) × cos(1.34204016) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226766268900279 × 6371000     		do = 69.2602554860217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76003954-0.76008748) × cos(1.34202929) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22677685571477 × 6371000     		du = 69.2634889716719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34204016)-sin(1.34202929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226766268900279-0.22677685571477)×R²
    abs(0.76008748-0.76003954)×1.05868144912036e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05868144912036e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05868144912036e-05×40589641000000     		ar = 4796.57650744349m²