Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81390 / 19515
↖ ↑ ↗
← N 77.430812°
E 43.544312°		 ← 66.45 m → N 77.430812°
E 43.547058°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.430215°
E 43.544312°		 ← 66.46 m →
4 416 m²		 N 77.430215°
E 43.547058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620960235595703 y=0.148891448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620960235595703 × 217)
    floor (0.620960235595703 × 131072)
    floor (81390.5)     		tx = 81390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148891448974609 × 217)
    floor (0.148891448974609 × 131072)
    floor (19515.5)     		ty = 19515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81390 / 19515 ti = "17/81390/19515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81390/19515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81390 ÷ 217
    81390 ÷ 131072     		x = 0.620956420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19515 ÷ 217
    19515 ÷ 131072     		y = 0.148887634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620956420898438 × 2 - 1) × π
    0.241912841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75999161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148887634277344 × 2 - 1) × π
    0.702224731445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.2061040574146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75999161} λ = 0.75999161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2061040574146))-π/2
    2×atan(9.08027117644603)-π/2
    2×1.46110947292014-π/2
    2.92221894584027-1.57079632675     		φ = 1.35142262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75999161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.544312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35142262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.430812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81390 KachelY 19515 0.75999161 1.35142262 43.544312 77.430812
    Oben rechts KachelX + 1 81391 KachelY 19515 0.76003954 1.35142262 43.547058 77.430812
    Unten links KachelX 81390 KachelY + 1 19516 0.75999161 1.35141219 43.544312 77.430215
    Unten rechts KachelX + 1 81391 KachelY + 1 19516 0.76003954 1.35141219 43.547058 77.430215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35142262-1.35141219) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35142262-1.35141219) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75999161-0.76003954) × cos(1.35142262) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.217618382379893 × 6371000     		do = 66.4523910087272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75999161-0.76003954) × cos(1.35141219) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.217628562401984 × 6371000     		du = 66.4554996009383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35142262)-sin(1.35141219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217618382379893-0.217628562401984)×R²
    abs(0.76003954-0.75999161)×1.01800220909665e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.01800220909665e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.01800220909665e-05×40589641000000     		ar = 4415.83343214717m²