Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81389 / 19532
↖ ↑ ↗
← N 77.420648°
E 43.541565°		 ← 66.52 m → N 77.420648°
E 43.544312°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.420049°
E 43.541565°		 ← 66.52 m →
4 429 m²		 N 77.420049°
E 43.544312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620952606201172 y=0.149021148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620952606201172 × 217)
    floor (0.620952606201172 × 131072)
    floor (81389.5)     		tx = 81389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149021148681641 × 217)
    floor (0.149021148681641 × 131072)
    floor (19532.5)     		ty = 19532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81389 / 19532 ti = "17/81389/19532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81389/19532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81389 ÷ 217
    81389 ÷ 131072     		x = 0.620948791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19532 ÷ 217
    19532 ÷ 131072     		y = 0.149017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620948791503906 × 2 - 1) × π
    0.241897583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.75994367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149017333984375 × 2 - 1) × π
    0.70196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20528913012106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75994367} λ = 0.75994367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20528913012106))-π/2
    2×atan(9.07287442994624)-π/2
    2×1.46102076606664-π/2
    2.92204153213328-1.57079632675     		φ = 1.35124521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75994367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.541565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35124521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.420648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81389 KachelY 19532 0.75994367 1.35124521 43.541565 77.420648
    Oben rechts KachelX + 1 81390 KachelY 19532 0.75999161 1.35124521 43.544312 77.420648
    Unten links KachelX 81389 KachelY + 1 19533 0.75994367 1.35123476 43.541565 77.420049
    Unten rechts KachelX + 1 81390 KachelY + 1 19533 0.75999161 1.35123476 43.544312 77.420049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35124521-1.35123476) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35124521-1.35123476) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75994367-0.75999161) × cos(1.35124521) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217791537134461 × 6371000     		do = 66.5191413951406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75994367-0.75999161) × cos(1.35123476) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217801736273565 × 6371000     		du = 66.5222564747488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35124521)-sin(1.35123476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217791537134461-0.217801736273565)×R²
    abs(0.75999161-0.75994367)×1.01991391041056e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01991391041056e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01991391041056e-05×40589641000000     		ar = 4428.74524700715m²