Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81387 / 20371
↖ ↑ ↗
← N 76.908799°
E 43.536072°		 ← 69.17 m → N 76.908799°
E 43.538818°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.908176°
E 43.536072°		 ← 69.17 m →
4 786 m²		 N 76.908176°
E 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620937347412109 y=0.155422210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620937347412109 × 217)
    floor (0.620937347412109 × 131072)
    floor (81387.5)     		tx = 81387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155422210693359 × 217)
    floor (0.155422210693359 × 131072)
    floor (20371.5)     		ty = 20371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81387 / 20371 ti = "17/81387/20371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81387/20371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81387 ÷ 217
    81387 ÷ 131072     		x = 0.620933532714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20371 ÷ 217
    20371 ÷ 131072     		y = 0.155418395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620933532714844 × 2 - 1) × π
    0.241867065429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.75984780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155418395996094 × 2 - 1) × π
    0.689163208007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.16507007133984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75984780} λ = 0.75984780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16507007133984))-π/2
    2×atan(8.71521258207851)-π/2
    2×1.45655404439169-π/2
    2.91310808878338-1.57079632675     		φ = 1.34231176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75984780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.536072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34231176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.908799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81387 KachelY 20371 0.75984780 1.34231176 43.536072 76.908799
    Oben rechts KachelX + 1 81388 KachelY 20371 0.75989573 1.34231176 43.538818 76.908799
    Unten links KachelX 81387 KachelY + 1 20372 0.75984780 1.34230090 43.536072 76.908176
    Unten rechts KachelX + 1 81388 KachelY + 1 20372 0.75989573 1.34230090 43.538818 76.908176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34231176-1.34230090) × R
    1.0860000000168e-05 × 6371000     		dl = 69.1890600010701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34231176-1.34230090) × R
    1.0860000000168e-05 × 6371000     		dr = 69.1890600010701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75984780-0.75989573) × cos(1.34231176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226501735934821 × 6371000     		do = 69.1650298836232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75984780-0.75989573) × cos(1.34230090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226512313678334 × 6371000     		du = 69.1682599248553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34231176)-sin(1.34230090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226501735934821-0.226512313678334)×R²
    abs(0.75989573-0.75984780)×1.05777435136511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05777435136511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05777435136511e-05×40589641000000     		ar = 4785.57514435563m²