Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81378 / 20386
↖ ↑ ↗
← N 76.899464°
E 43.511352°		 ← 69.23 m → N 76.899464°
E 43.514099°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.898841°
E 43.511352°		 ← 69.23 m →
4 794 m²		 N 76.898841°
E 43.514099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620868682861328 y=0.155536651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620868682861328 × 217)
    floor (0.620868682861328 × 131072)
    floor (81378.5)     		tx = 81378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155536651611328 × 217)
    floor (0.155536651611328 × 131072)
    floor (20386.5)     		ty = 20386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81378 / 20386 ti = "17/81378/20386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81378/20386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81378 ÷ 217
    81378 ÷ 131072     		x = 0.620864868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20386 ÷ 217
    20386 ÷ 131072     		y = 0.155532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620864868164062 × 2 - 1) × π
    0.241729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75941636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155532836914062 × 2 - 1) × π
    0.688934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16435101784554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75941636} λ = 0.75941636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16435101784554))-π/2
    2×atan(8.70894813052559)-π/2
    2×1.45647258243715-π/2
    2.9129451648743-1.57079632675     		φ = 1.34214884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75941636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.511352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34214884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.899464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81378 KachelY 20386 0.75941636 1.34214884 43.511352 76.899464
    Oben rechts KachelX + 1 81379 KachelY 20386 0.75946430 1.34214884 43.514099 76.899464
    Unten links KachelX 81378 KachelY + 1 20387 0.75941636 1.34213797 43.511352 76.898841
    Unten rechts KachelX + 1 81379 KachelY + 1 20387 0.75946430 1.34213797 43.514099 76.898841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34214884-1.34213797) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dl = 69.2527699992682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34214884-1.34213797) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dr = 69.2527699992682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75941636-0.75946430) × cos(1.34214884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226660418761382 × 6371000     		do = 69.2279261288595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75941636-0.75946430) × cos(1.34213797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226671005843707 × 6371000     		du = 69.2311596963131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34214884)-sin(1.34213797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226660418761382-0.226671005843707)×R²
    abs(0.75946430-0.75941636)×1.05870823254306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05870823254306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05870823254306e-05×40589641000000     		ar = 4794.33761260512m²