Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81378 / 19540
↖ ↑ ↗
← N 77.415861°
E 43.511352°		 ← 66.54 m → N 77.415861°
E 43.514099°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.415262°
E 43.511352°		 ← 66.55 m →
4 430 m²		 N 77.415262°
E 43.514099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620868682861328 y=0.149082183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620868682861328 × 217)
    floor (0.620868682861328 × 131072)
    floor (81378.5)     		tx = 81378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149082183837891 × 217)
    floor (0.149082183837891 × 131072)
    floor (19540.5)     		ty = 19540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81378 / 19540 ti = "17/81378/19540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81378/19540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81378 ÷ 217
    81378 ÷ 131072     		x = 0.620864868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19540 ÷ 217
    19540 ÷ 131072     		y = 0.149078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620864868164062 × 2 - 1) × π
    0.241729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75941636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149078369140625 × 2 - 1) × π
    0.70184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2049056349241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75941636} λ = 0.75941636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2049056349241))-π/2
    2×atan(9.06939569326177)-π/2
    2×1.46097899724527-π/2
    2.92195799449055-1.57079632675     		φ = 1.35116167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75941636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.511352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35116167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.415861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81378 KachelY 19540 0.75941636 1.35116167 43.511352 77.415861
    Oben rechts KachelX + 1 81379 KachelY 19540 0.75946430 1.35116167 43.514099 77.415861
    Unten links KachelX 81378 KachelY + 1 19541 0.75941636 1.35115122 43.511352 77.415262
    Unten rechts KachelX + 1 81379 KachelY + 1 19541 0.75946430 1.35115122 43.514099 77.415262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35116167-1.35115122) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35116167-1.35115122) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75941636-0.75946430) × cos(1.35116167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217873071022639 × 6371000     		do = 66.5440439431185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75941636-0.75946430) × cos(1.35115122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217883269971573 × 6371000     		du = 66.5471589646437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35116167)-sin(1.35115122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217873071022639-0.217883269971573)×R²
    abs(0.75946430-0.75941636)×1.01989489335597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01989489335597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01989489335597e-05×40589641000000     		ar = 4430.40318093635m²