Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81377 / 20001
↖ ↑ ↗
← N 77.137000°
E 43.508606°		 ← 67.98 m → N 77.137000°
E 43.511352°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.136389°
E 43.508606°		 ← 67.98 m →
4 621 m²		 N 77.136389°
E 43.511352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620861053466797 y=0.152599334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620861053466797 × 217)
    floor (0.620861053466797 × 131072)
    floor (81377.5)     		tx = 81377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152599334716797 × 217)
    floor (0.152599334716797 × 131072)
    floor (20001.5)     		ty = 20001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81377 / 20001 ti = "17/81377/20001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81377/20001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81377 ÷ 217
    81377 ÷ 131072     		x = 0.620857238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20001 ÷ 217
    20001 ÷ 131072     		y = 0.152595520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620857238769531 × 2 - 1) × π
    0.241714477539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.75936843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152595520019531 × 2 - 1) × π
    0.694808959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.18280672419926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75936843} λ = 0.75936843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18280672419926))-π/2
    2×atan(8.87117027747022)-π/2
    2×1.45854547913823-π/2
    2.91709095827645-1.57079632675     		φ = 1.34629463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75936843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.508606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34629463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.137000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81377 KachelY 20001 0.75936843 1.34629463 43.508606 77.137000
    Oben rechts KachelX + 1 81378 KachelY 20001 0.75941636 1.34629463 43.511352 77.137000
    Unten links KachelX 81377 KachelY + 1 20002 0.75936843 1.34628396 43.508606 77.136389
    Unten rechts KachelX + 1 81378 KachelY + 1 20002 0.75941636 1.34628396 43.511352 77.136389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34629463-1.34628396) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34629463-1.34628396) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75936843-0.75941636) × cos(1.34629463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222620591424646 × 6371000     		do = 67.9798757172722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75936843-0.75941636) × cos(1.34628396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222630993650038 × 6371000     		du = 67.9830521619342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34629463)-sin(1.34628396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222620591424646-0.222630993650038)×R²
    abs(0.75941636-0.75936843)×1.04022253914482e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04022253914482e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04022253914482e-05×40589641000000     		ar = 4621.28270513251m²