Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81377 / 19529
↖ ↑ ↗
← N 77.422442°
E 43.508606°		 ← 66.50 m → N 77.422442°
E 43.511352°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.421843°
E 43.508606°		 ← 66.50 m →
4 423 m²		 N 77.421843°
E 43.511352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620861053466797 y=0.148998260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620861053466797 × 217)
    floor (0.620861053466797 × 131072)
    floor (81377.5)     		tx = 81377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148998260498047 × 217)
    floor (0.148998260498047 × 131072)
    floor (19529.5)     		ty = 19529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81377 / 19529 ti = "17/81377/19529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81377/19529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81377 ÷ 217
    81377 ÷ 131072     		x = 0.620857238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19529 ÷ 217
    19529 ÷ 131072     		y = 0.148994445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620857238769531 × 2 - 1) × π
    0.241714477539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.75936843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148994445800781 × 2 - 1) × π
    0.702011108398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.20543294081992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75936843} λ = 0.75936843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20543294081992))-π/2
    2×atan(9.07417930018359)-π/2
    2×1.46103642534456-π/2
    2.92207285068913-1.57079632675     		φ = 1.35127652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75936843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.508606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35127652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.422442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81377 KachelY 19529 0.75936843 1.35127652 43.508606 77.422442
    Oben rechts KachelX + 1 81378 KachelY 19529 0.75941636 1.35127652 43.511352 77.422442
    Unten links KachelX 81377 KachelY + 1 19530 0.75936843 1.35126608 43.508606 77.421843
    Unten rechts KachelX + 1 81378 KachelY + 1 19530 0.75941636 1.35126608 43.511352 77.421843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35127652-1.35126608) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35127652-1.35126608) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75936843-0.75941636) × cos(1.35127652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217760978614538 × 6371000     		do = 66.4959344845626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75936843-0.75941636) × cos(1.35126608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217771168064899 × 6371000     		du = 66.4990459558095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35127652)-sin(1.35126608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217760978614538-0.217771168064899)×R²
    abs(0.75941636-0.75936843)×1.01894503614086e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01894503614086e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01894503614086e-05×40589641000000     		ar = 4422.96352644076m²