Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81374 / 20394
↖ ↑ ↗
← N 76.894483°
E 43.500366°		 ← 69.24 m → N 76.894483°
E 43.503113°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.893860°
E 43.500366°		 ← 69.24 m →
4 795 m²		 N 76.893860°
E 43.503113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620838165283203 y=0.155597686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620838165283203 × 217)
    floor (0.620838165283203 × 131072)
    floor (81374.5)     		tx = 81374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155597686767578 × 217)
    floor (0.155597686767578 × 131072)
    floor (20394.5)     		ty = 20394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81374 / 20394 ti = "17/81374/20394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81374/20394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81374 ÷ 217
    81374 ÷ 131072     		x = 0.620834350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20394 ÷ 217
    20394 ÷ 131072     		y = 0.155593872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620834350585938 × 2 - 1) × π
    0.241668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75922462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155593872070312 × 2 - 1) × π
    0.688812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16396752264858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75922462} λ = 0.75922462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16396752264858))-π/2
    2×atan(8.70560893107136)-π/2
    2×1.4564291127281-π/2
    2.91285822545621-1.57079632675     		φ = 1.34206190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75922462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.500366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34206190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.894483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81374 KachelY 20394 0.75922462 1.34206190 43.500366 76.894483
    Oben rechts KachelX + 1 81375 KachelY 20394 0.75927255 1.34206190 43.503113 76.894483
    Unten links KachelX 81374 KachelY + 1 20395 0.75922462 1.34205103 43.500366 76.893860
    Unten rechts KachelX + 1 81375 KachelY + 1 20395 0.75927255 1.34205103 43.503113 76.893860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34206190-1.34205103) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dl = 69.2527700006829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34206190-1.34205103) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dr = 69.2527700006829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75922462-0.75927255) × cos(1.34206190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226745095190916 × 6371000     		do = 69.2393425600838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75922462-0.75927255) × cos(1.34205103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226755682058994 × 6371000     		du = 69.2425753876114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34206190)-sin(1.34205103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226745095190916-0.226755682058994)×R²
    abs(0.75927255-0.75922462)×1.05868680779497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05868680779497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05868680779497e-05×40589641000000     		ar = 4795.12820646061m²