Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81370 / 19558
↖ ↑ ↗
← N 77.405085°
E 43.489380°		 ← 66.60 m → N 77.405085°
E 43.492127°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.404486°
E 43.489380°		 ← 66.60 m →
4 434 m²		 N 77.404486°
E 43.492127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620807647705078 y=0.149219512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620807647705078 × 217)
    floor (0.620807647705078 × 131072)
    floor (81370.5)     		tx = 81370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149219512939453 × 217)
    floor (0.149219512939453 × 131072)
    floor (19558.5)     		ty = 19558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81370 / 19558 ti = "17/81370/19558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81370/19558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81370 ÷ 217
    81370 ÷ 131072     		x = 0.620803833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19558 ÷ 217
    19558 ÷ 131072     		y = 0.149215698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620803833007812 × 2 - 1) × π
    0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149215698242188 × 2 - 1) × π
    0.701568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20404277073094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75903287} λ = 0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20404277073094))-π/2
    2×atan(9.0615734117331)-π/2
    2×1.46088496021863-π/2
    2.92176992043725-1.57079632675     		φ = 1.35097359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35097359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.405085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81370 KachelY 19558 0.75903287 1.35097359 43.489380 77.405085
    Oben rechts KachelX + 1 81371 KachelY 19558 0.75908081 1.35097359 43.492127 77.405085
    Unten links KachelX 81370 KachelY + 1 19559 0.75903287 1.35096314 43.489380 77.404486
    Unten rechts KachelX + 1 81371 KachelY + 1 19559 0.75908081 1.35096314 43.492127 77.404486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35097359-1.35096314) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35097359-1.35096314) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75903287-0.75908081) × cos(1.35097359) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.218056628943423 × 6371000     		do = 66.6001072570608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75903287-0.75908081) × cos(1.35096314) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21806682746395 × 6371000     		du = 66.6032221477399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35097359)-sin(1.35096314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218056628943423-0.21806682746395)×R²
    abs(0.75908081-0.75903287)×1.01985205275823e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01985205275823e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01985205275823e-05×40589641000000     		ar = 4434.13570086649m²