Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81367 / 19551
↖ ↑ ↗
← N 77.409277°
E 43.481140°		 ← 66.56 m → N 77.409277°
E 43.483886°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.408678°
E 43.481140°		 ← 66.57 m →
4 432 m²		 N 77.408678°
E 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620784759521484 y=0.149166107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620784759521484 × 217)
    floor (0.620784759521484 × 131072)
    floor (81367.5)     		tx = 81367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149166107177734 × 217)
    floor (0.149166107177734 × 131072)
    floor (19551.5)     		ty = 19551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81367 / 19551 ti = "17/81367/19551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81367/19551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81367 ÷ 217
    81367 ÷ 131072     		x = 0.620780944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19551 ÷ 217
    19551 ÷ 131072     		y = 0.149162292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620780944824219 × 2 - 1) × π
    0.241561889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.75888906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149162292480469 × 2 - 1) × π
    0.701675415039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.20437832902828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75888906} λ = 0.75888906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20437832902828))-π/2
    2×atan(9.06461460809917)-π/2
    2×1.46092153958367-π/2
    2.92184307916734-1.57079632675     		φ = 1.35104675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75888906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.481140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35104675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.409277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81367 KachelY 19551 0.75888906 1.35104675 43.481140 77.409277
    Oben rechts KachelX + 1 81368 KachelY 19551 0.75893699 1.35104675 43.483886 77.409277
    Unten links KachelX 81367 KachelY + 1 19552 0.75888906 1.35103630 43.481140 77.408678
    Unten rechts KachelX + 1 81368 KachelY + 1 19552 0.75893699 1.35103630 43.483886 77.408678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35104675-1.35103630) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35104675-1.35103630) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75888906-0.75893699) × cos(1.35104675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217985228873526 × 6371000     		do = 66.5644119988752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75888906-0.75893699) × cos(1.35103630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217995427560739 × 6371000     		du = 66.567526290706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35104675)-sin(1.35103630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217985228873526-0.217995427560739)×R²
    abs(0.75893699-0.75888906)×1.01986872132753e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01986872132753e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01986872132753e-05×40589641000000     		ar = 4431.75919958016m²