Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81366 / 19549
↖ ↑ ↗
← N 77.410474°
E 43.478393°		 ← 66.57 m → N 77.410474°
E 43.481140°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.409875°
E 43.478393°		 ← 66.58 m →
4 432 m²		 N 77.409875°
E 43.481140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620777130126953 y=0.149150848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620777130126953 × 217)
    floor (0.620777130126953 × 131072)
    floor (81366.5)     		tx = 81366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149150848388672 × 217)
    floor (0.149150848388672 × 131072)
    floor (19549.5)     		ty = 19549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81366 / 19549 ti = "17/81366/19549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81366/19549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81366 ÷ 217
    81366 ÷ 131072     		x = 0.620773315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19549 ÷ 217
    19549 ÷ 131072     		y = 0.149147033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620773315429688 × 2 - 1) × π
    0.241546630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75884112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149147033691406 × 2 - 1) × π
    0.701705932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.20447420282752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75884112} λ = 0.75884112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20447420282752))-π/2
    2×atan(9.06548370880162)-π/2
    2×1.46093198863073-π/2
    2.92186397726147-1.57079632675     		φ = 1.35106765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75884112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.478393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35106765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.410474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81366 KachelY 19549 0.75884112 1.35106765 43.478393 77.410474
    Oben rechts KachelX + 1 81367 KachelY 19549 0.75888906 1.35106765 43.481140 77.410474
    Unten links KachelX 81366 KachelY + 1 19550 0.75884112 1.35105720 43.478393 77.409875
    Unten rechts KachelX + 1 81367 KachelY + 1 19550 0.75888906 1.35105720 43.481140 77.409875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35106765-1.35105720) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35106765-1.35105720) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75884112-0.75888906) × cos(1.35106765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217964831427687 × 6371000     		do = 66.5720699327328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75884112-0.75888906) × cos(1.35105720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217975030162508 × 6371000     		du = 66.5751848888627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35106765)-sin(1.35105720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217964831427687-0.217975030162508)×R²
    abs(0.75888906-0.75884112)×1.01987348212207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01987348212207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01987348212207e-05×40589641000000     		ar = 4432.26906337568m²