Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81362 / 19998
↖ ↑ ↗
← N 77.138834°
E 43.467407°		 ← 67.98 m → N 77.138834°
E 43.470154°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.138223°
E 43.467407°		 ← 67.99 m →
4 622 m²		 N 77.138223°
E 43.470154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620746612548828 y=0.152576446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620746612548828 × 217)
    floor (0.620746612548828 × 131072)
    floor (81362.5)     		tx = 81362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152576446533203 × 217)
    floor (0.152576446533203 × 131072)
    floor (19998.5)     		ty = 19998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81362 / 19998 ti = "17/81362/19998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81362/19998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81362 ÷ 217
    81362 ÷ 131072     		x = 0.620742797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19998 ÷ 217
    19998 ÷ 131072     		y = 0.152572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620742797851562 × 2 - 1) × π
    0.241485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75864937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152572631835938 × 2 - 1) × π
    0.694854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18295053489812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75864937} λ = 0.75864937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18295053489812))-π/2
    2×atan(8.87244613840656)-π/2
    2×1.45856148562744-π/2
    2.91712297125488-1.57079632675     		φ = 1.34632664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75864937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.467407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34632664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.138834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81362 KachelY 19998 0.75864937 1.34632664 43.467407 77.138834
    Oben rechts KachelX + 1 81363 KachelY 19998 0.75869731 1.34632664 43.470154 77.138834
    Unten links KachelX 81362 KachelY + 1 19999 0.75864937 1.34631597 43.467407 77.138223
    Unten rechts KachelX + 1 81363 KachelY + 1 19999 0.75869731 1.34631597 43.470154 77.138223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34632664-1.34631597) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34632664-1.34631597) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75864937-0.75869731) × cos(1.34632664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222589384596406 × 6371000     		do = 67.9845275064573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75864937-0.75869731) × cos(1.34631597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222599786897829 × 6371000     		du = 67.9877046370672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34632664)-sin(1.34631597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222589384596406-0.222599786897829)×R²
    abs(0.75869731-0.75864937)×1.04023014232124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04023014232124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04023014232124e-05×40589641000000     		ar = 4621.59895047761m²