Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81361 / 19999
↖ ↑ ↗
← N 77.138223°
E 43.464661°		 ← 67.97 m → N 77.138223°
E 43.467407°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.137612°
E 43.464661°		 ← 67.98 m →
4 621 m²		 N 77.137612°
E 43.467407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620738983154297 y=0.152584075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620738983154297 × 217)
    floor (0.620738983154297 × 131072)
    floor (81361.5)     		tx = 81361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152584075927734 × 217)
    floor (0.152584075927734 × 131072)
    floor (19999.5)     		ty = 19999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81361 / 19999 ti = "17/81361/19999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81361/19999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81361 ÷ 217
    81361 ÷ 131072     		x = 0.620735168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19999 ÷ 217
    19999 ÷ 131072     		y = 0.152580261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620735168457031 × 2 - 1) × π
    0.241470336914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.75860144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152580261230469 × 2 - 1) × π
    0.694839477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.1829025979985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75860144} λ = 0.75860144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1829025979985))-π/2
    2×atan(8.87202083104068)-π/2
    2×1.45855615038038-π/2
    2.91711230076077-1.57079632675     		φ = 1.34631597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75860144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.464661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34631597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.138223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81361 KachelY 19999 0.75860144 1.34631597 43.464661 77.138223
    Oben rechts KachelX + 1 81362 KachelY 19999 0.75864937 1.34631597 43.467407 77.138223
    Unten links KachelX 81361 KachelY + 1 20000 0.75860144 1.34630530 43.464661 77.137612
    Unten rechts KachelX + 1 81362 KachelY + 1 20000 0.75864937 1.34630530 43.467407 77.137612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34631597-1.34630530) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34631597-1.34630530) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75860144-0.75864937) × cos(1.34631597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222599786897829 × 6371000     		do = 67.9735228047301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75860144-0.75864937) × cos(1.34630530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22261018917391 × 6371000     		du = 67.9766992648707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34631597)-sin(1.34630530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222599786897829-0.22261018917391)×R²
    abs(0.75864937-0.75860144)×1.04022760804845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04022760804845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04022760804845e-05×40589641000000     		ar = 4620.8508438342m²