Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8136 / 25784
↖ ↑ ↗
← S 71.272594°
W 90.615234°		 ← 392.23 m → S 71.272594°
W 90.604248°		 →
↑
392.20 m
↓
↑
392.20 m
↓
S 71.276122°
W 90.615234°		 ← 392.16 m →
153 817 m²		 S 71.276122°
W 90.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248306274414062 y=0.786880493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248306274414062 × 215)
    floor (0.248306274414062 × 32768)
    floor (8136.5)     		tx = 8136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786880493164062 × 215)
    floor (0.786880493164062 × 32768)
    floor (25784.5)     		ty = 25784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8136 / 25784 ti = "15/8136/25784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8136/25784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8136 ÷ 215
    8136 ÷ 32768     		x = 0.248291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25784 ÷ 215
    25784 ÷ 32768     		y = 0.786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248291015625 × 2 - 1) × π
    -0.50341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.58153419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.57373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58153419} λ = -1.58153419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80242742571411))-π/2
    2×atan(0.164898124059208)-π/2
    2×0.16342744132085-π/2
    0.3268548826417-1.57079632675     		φ = -1.24394144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58153419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.615234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24394144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.272594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8136 KachelY 25784 -1.58153419 -1.24394144 -90.615234 -71.272594
    Oben rechts KachelX + 1 8137 KachelY 25784 -1.58134244 -1.24394144 -90.604248 -71.272594
    Unten links KachelX 8136 KachelY + 1 25785 -1.58153419 -1.24400300 -90.615234 -71.276122
    Unten rechts KachelX + 1 8137 KachelY + 1 25785 -1.58134244 -1.24400300 -90.604248 -71.276122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24394144--1.24400300) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dl = 392.198760000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24394144--1.24400300) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dr = 392.198760000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58153419--1.58134244) × cos(-1.24394144) × R
    0.000191749999999935 × 0.32106602036008 × 6371000     		do = 392.22685231304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58153419--1.58134244) × cos(-1.24400300) × R
    0.000191749999999935 × 0.321007718934233 × 6371000     		du = 392.155629002894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24394144)-sin(-1.24400300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32106602036008-0.321007718934233)×R²
    abs(-1.58134244--1.58153419)×5.83014258471737e-05×R²
    0.000191749999999935×5.83014258471737e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.83014258471737e-05×40589641000000     		ar = 153816.918317701m²