Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81352 / 19544
↖ ↑ ↗
← N 77.413467°
E 43.439941°		 ← 66.56 m → N 77.413467°
E 43.442688°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.412869°
E 43.439941°		 ← 66.56 m →
4 431 m²		 N 77.412869°
E 43.442688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620670318603516 y=0.149112701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620670318603516 × 217)
    floor (0.620670318603516 × 131072)
    floor (81352.5)     		tx = 81352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149112701416016 × 217)
    floor (0.149112701416016 × 131072)
    floor (19544.5)     		ty = 19544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81352 / 19544 ti = "17/81352/19544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81352/19544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81352 ÷ 217
    81352 ÷ 131072     		x = 0.62066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19544 ÷ 217
    19544 ÷ 131072     		y = 0.14910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62066650390625 × 2 - 1) × π
    0.2413330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75817000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14910888671875 × 2 - 1) × π
    0.7017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20471388732562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75817000} λ = 0.75817000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20471388732562))-π/2
    2×atan(9.06765682513515)-π/2
    2×1.46095810697134-π/2
    2.92191621394268-1.57079632675     		φ = 1.35111989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75817000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.439941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35111989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.413467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81352 KachelY 19544 0.75817000 1.35111989 43.439941 77.413467
    Oben rechts KachelX + 1 81353 KachelY 19544 0.75821794 1.35111989 43.442688 77.413467
    Unten links KachelX 81352 KachelY + 1 19545 0.75817000 1.35110944 43.439941 77.412869
    Unten rechts KachelX + 1 81353 KachelY + 1 19545 0.75821794 1.35110944 43.442688 77.412869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35111989-1.35110944) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35111989-1.35110944) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75817000-0.75821794) × cos(1.35111989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217913847156248 × 6371000     		do = 66.5564980239004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75817000-0.75821794) × cos(1.35110944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217924046010047 × 6371000     		du = 66.5596130163691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35111989)-sin(1.35110944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217913847156248-0.217924046010047)×R²
    abs(0.75821794-0.75817000)×1.0198853798854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0198853798854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0198853798854e-05×40589641000000     		ar = 4431.23233456004m²